Planitud (teoría de sistemas)

La planitud en la teoría de sistemas es una propiedad del sistema que extiende la noción de controlabilidad de sistemas lineales a sistemas dinámicos no lineales . Un sistema que tiene la propiedad de planitud se llama sistema plano . Los sistemas planos tienen una salida plana (ficticia) , que se puede utilizar para expresar explícitamente todos los estados y entradas en términos de la salida plana y un número finito de sus derivadas.

Definición

Un sistema no lineal

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t)),\quad \mathbf {x} (0)=\mathbf {x} _{0},\quad \mathbf {u} (t)\in R^{m},\quad \mathbf {x} (t)\in R^{n},{\text{Rank}}{\frac {\partial \mathbf {f} (\mathbf {x} ,\mathbf {u} )}{\partial \mathbf {u} }}=m}$

es plano, si existe una salida

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=(y_{1}(t),...,y_{m}(t))}$

que satisface las siguientes condiciones:

• Las señales son representables como funciones de los estados y entradas y un número finito de derivadas con respecto al tiempo : . ${\displaystyle y_{i},i=1,...,m}$ ${\displaystyle x_{i},i=1,...,n}$ ${\displaystyle u_{i},i=1,...,m}$ ${\displaystyle u_{i}^{(k)},k=1,...,\alpha _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} =\Phi (\mathbf {x} ,\mathbf {u} ,{\dot {\mathbf {u} }},...,\mathbf {u} ^{(\alpha )})}$
• Los estados y entradas son representables como funciones de las salidas y de sus derivadas con respecto al tiempo . ${\displaystyle x_{i},i=1,...,n}$ ${\displaystyle u_{i},i=1,...,m}$ ${\displaystyle y_{i},i=1,...,m}$ ${\displaystyle y_{i}^{(k)},i=1,...,m}$
• Los componentes de son diferencialmente independientes, es decir, no satisfacen ninguna ecuación diferencial de la forma . ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {y} ,{\dot {\mathbf {y} }},\mathbf {y} ^{(\gamma )})=\mathbf {0} }$

Si estas condiciones se satisfacen al menos localmente, entonces la salida (posiblemente ficticia) se llama producción plana y el sistema es plano .

Relación con la controlabilidad de sistemas lineales.

Un sistema lineal con las mismas dimensiones de señal que el sistema no lineal es plano, si y sólo si es controlable . Para sistemas lineales ambas propiedades son equivalentes y, por tanto, intercambiables. ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t),\quad \mathbf {x} (0)=\mathbf {x} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {u} }$

Significado

La propiedad de planitud es útil tanto para el análisis como para la síntesis de controladores de sistemas dinámicos no lineales. Es particularmente ventajoso para resolver problemas de planificación de trayectorias y control de seguimiento de puntos de ajuste asintóticos.

Literatura

• M. Fliess, JL Lévine, P. Martin y P. Rouchon: Planicidad y defecto de sistemas no lineales: teoría introductoria y ejemplos. Revista Internacional de Control 61 ( 6 ), págs. 1327-1361, 1995 [1]
• A. Isidori, CH Moog y A. De Luca. Una condición suficiente para una linealización completa mediante retroalimentación de estado dinámico. 25.° CDC IEEE, Atenas, Grecia, págs. 203 - 208, 1986 [2]

Ver también

• Teoría del control
• Ingeniería de control
• Controlador (teoría del control)
• Método pseudoespectral plano