Estría de placa delgada

Método de interpolación y suavizado de datos

Los splines de placa delgada ( TPS ) son una técnica basada en splines para la interpolación y suavizado de datos . "Un spline es una función definida por polinomios de manera fragmentada". ^{[1] [2]} Fueron introducidos al diseño geométrico por Duchon. ^[3] Son un caso especial importante de un spline poliarmónico . Robust Point Matching (RPM) es una extensión común y se conoce brevemente como el algoritmo TPS-RPM. ^[4]

Analogía física

El nombre de spline de placa delgada se refiere a una analogía física que involucra la flexión de una placa o lámina delgada de metal. Así como el metal tiene rigidez, el ajuste TPS también resiste la flexión, lo que implica una penalización que involucra la suavidad de la superficie ajustada. En el entorno físico, la deflexión es en la dirección ortogonal al plano. Para aplicar esta idea al problema de la transformación de coordenadas, se interpreta el levantamiento de la placa como un desplazamiento de las coordenadas dentro del plano. En casos 2D, dado un conjunto de puntos de control correspondientes (nudos), la deformación TPS se describe mediante parámetros que incluyen 6 parámetros de movimiento afines globales y coeficientes para las correspondencias de los puntos de control. Estos parámetros se calculan resolviendo un sistema lineal, en otras palabras, TPS tiene una solución de forma cerrada . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 2(K+3)}$ ${\displaystyle 2K}$

Medida de suavidad

El TPS surge de la consideración de la integral del cuadrado de la segunda derivada, que forma su medida de suavidad. En el caso en el que es bidimensional, para la interpolación, el TPS ajusta una función de mapeo entre conjuntos de puntos correspondientes y que minimiza la siguiente función de energía: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \{y_{i}\}}$ ${\displaystyle \{x_{i}\}}$

${\displaystyle E_{\mathrm {tps} }(f)=\sum _{i=1}^{K}\|y_{i}-f(x_{i})\|^{2}}$

La variante de suavizado, correspondientemente, utiliza un parámetro de ajuste para controlar la rigidez de la deformación, equilibrando el criterio antes mencionado con la medida de bondad de ajuste, minimizando así: ^{[1] [2]} ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle E_{\mathrm {tps} ,\mathrm {smooth} }(f)=\sum _{i=1}^{K}\|y_{i}-f(x_{i})\|^{2}+\lambda \iint \left[\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}\right)^{2}+2\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}\right)^{2}\right]{\textrm {d}}x_{1}\,{\textrm {d}}x_{2}}$

Para este problema variacional, se puede demostrar que existe un minimizador único . ^[5] La discretización de elementos finitos de este problema variacional, el método de mapas elásticos , se utiliza para la minería de datos y la reducción de dimensionalidad no lineal . En palabras simples, "el primer término se define como el término de medición de error y el segundo término de regularización es una penalización en la suavidad de ." ^{[1] [2]} En un caso general, es necesario hacer que el mapeo sea único. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Función de base radial

La spline de placa delgada tiene una representación natural en términos de funciones de base radial. Dado un conjunto de puntos de control , una función de base radial define una asignación espacial que asigna cualquier ubicación en el espacio a una nueva ubicación , representada por ${\displaystyle \{c_{i},i=1,2,\ldots ,K\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{K}w_{i}\varphi (\left\|x-c_{i}\right\|)}$

donde denota la norma euclidiana usual y es un conjunto de coeficientes de mapeo. El TPS corresponde al núcleo de base radial . ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|}$ ${\displaystyle \{w_{i}\}}$ ${\displaystyle \varphi (r)=r^{2}\log r}$

Ranura

Supongamos que los puntos están en dos dimensiones ( ). Se pueden utilizar coordenadas homogéneas para el conjunto de puntos, donde un punto se representa como un vector . El minimizador único está parametrizado por que consta de dos matrices y ( ). ${\displaystyle D=2}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle (1,y_{ix},y_{iy})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \alpha =\{d,c\}}$

${\displaystyle f_{tps}(z,\alpha )=f_{tps}(z,d,c)=z\cdot d+\phi (z)\cdot c=z\cdot d+\sum _{i=1}^{K}\phi _{i}(z)c_{i}}$

donde d es una matriz que representa la transformación afín (por lo tanto, es un vector) y c es una matriz de coeficientes de deformación que representa la deformación no afín. La función kernel es un vector para cada punto , donde cada entrada . Tenga en cuenta que para TPS, los puntos de control se eligen para que sean los mismos que el conjunto de puntos que se deformarán , por lo que ya usamos en lugar de los puntos de control. ${\displaystyle (D+1)\times (D+1)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 1\times (D+1)}$ ${\displaystyle K\times (D+1)}$ ${\displaystyle \phi (z)}$ ${\displaystyle 1\times K}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \phi _{i}(z)=\|z-x_{i}\|^{2}\log \|z-x_{i}\|}$ ${\displaystyle \{c_{i}\}}$ ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ ${\displaystyle \{x_{i}\}}$

Si se sustituye la solución por , se obtiene: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle E_{tps}}$

${\displaystyle E_{tps}(d,c)=\|Y-Xd-\Phi c\|^{2}+\lambda c^{T}\Phi c}$

donde y son simplemente versiones concatenadas de las coordenadas de los puntos y , y es una matriz formada a partir de . Cada fila de cada matriz recién formada proviene de uno de los vectores originales. La matriz representa el núcleo TPS. En términos generales, el núcleo TPS contiene la información sobre las relaciones estructurales internas del conjunto de puntos. Cuando se combina con los coeficientes de deformación , se genera una deformación no rígida. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (K\times K)}$ ${\displaystyle \phi (\|x_{i}-x_{j}\|)}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle c}$

Una propiedad interesante del TPS es que siempre se puede descomponer en un componente global afín y un componente local no afín. En consecuencia, el término de suavidad del TPS depende únicamente de los componentes no afines. Esta es una propiedad deseable, especialmente cuando se compara con otros splines, ya que los parámetros de pose globales incluidos en la transformación afín no se ven penalizados.

Aplicaciones

El TPS se ha utilizado ampliamente como modelo de transformación no rígido en la alineación de imágenes y la correspondencia de formas. ^[6] Una aplicación adicional es el análisis y las comparaciones de hallazgos arqueológicos en 3D ^[7] y se implementó para mallas triangulares en el marco de software GigaMesh . ^[8]

La placa estriada delgada tiene una serie de propiedades que han contribuido a su popularidad:

1. Produce superficies lisas, infinitamente diferenciables.
2. No hay parámetros libres que requieran ajuste manual.
3. Tiene soluciones de forma cerrada tanto para deformación como para estimación de parámetros.
4. Hay una explicación física para su función energética.

Sin embargo, tenga en cuenta que las splines que ya están en una dimensión pueden causar "sobreimpulsos" graves. En 2D, estos efectos pueden ser mucho más críticos, porque los TPS no son objetivos. ^{[ cita requerida ]}

Véase también

• Mapa elástico (una versión discreta de la aproximación de placa delgada para el aprendizaje de variedades )
• Ponderación de distancia inversa
• Spline poliarmónico (el spline de placa delgada es un caso especial de un spline poliarmónico)
• Función de base radial
• Spline suavizante
• Ranura
• Superficie de subdivisión (alternativa emergente a las superficies basadas en splines)

Referencias

1. Tahir, Anam (2023). Control de formación de enjambres de vehículos aéreos no tripulados (PDF) . Finlandia: Universidad de Turku. ISBN 978-951-29-9411-3.
2. Tahir, Anam; Haghbayan, Hashem; Böling, Jari M.; Plosila, Juha (2023). "Reconfiguración post-falla energéticamente eficiente de enjambres de vehículos aéreos no tripulados". IEEE Access . 11 : 24768–24779. doi : 10.1109/ACCESS.2022.3181244 .
3. J. Duchon, 1976, Splines que minimizan las seminormas invariantes de rotación en espacios de Sobolev. pp 85–100, En: Teoría constructiva de funciones de varias variables, Oberwolfach 1976, W. Schempp y K. Zeller , eds., Lecture Notes in Math., Vol. 571, Springer, Berlín, 1977. doi :10.1007/BFb0086566
4. Chui, Haili (2001), Coincidencia de puntos no rígidos: algoritmos, extensiones y aplicaciones , Universidad de Yale, New Haven, CT, EE. UU., CiteSeerX 10.1.1.109.6855 {{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
5. Wahba , Grace (1990), Modelos spline para datos observacionales , Filadelfia, PA, EE. UU.: Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), CiteSeerX 10.1.1.470.5213 , doi :10.1137/1.9781611970128, ISBN  978-0-89871-244-5
6. Bookstein, FL (junio de 1989). "Deformaciones principales: estrías de placas delgadas y descomposición de deformaciones". IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence . 11 (6): 567–585. doi :10.1109/34.24792.
7. Bogacz, Bartosz; Papadimitriou, Nikolas; Panagiotopoulos , Diamantis; Mara , Hubert (2019), "Recuperación y visualización de la deformación en los sellados 3D del Egeo", Proc. de la 14.ª Conferencia internacional sobre teoría y aplicación de la visión artificial (VISAPP) , Praga, República Checa , consultado el 28 de marzo de 2019
8. "Tutorial n.º 13: Aplicar la transformación TPS-RPM". GigaMesh Software Framework . Consultado el 3 de marzo de 2019 .

Enlaces externos

• Explicación de un problema de variación simplificado
• TPS en MathWorld
• TPS en C++
• TPS en C++ con plantilla
• Demostración interactiva de transformación de TPS
• TPS en R
• TPS en JS