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Disección con bisagras

Animación en bucle de disecciones articuladas de triángulo a cuadrado , luego a hexágono y luego nuevamente a triángulo. Observe que la cadena de piezas se puede conectar completamente en un anillo durante la reorganización de cuadrado a hexágono.

En geometría , una disección con bisagras , también conocida como disección con bisagras oscilantes o disección de Dudeney , [1] es un tipo de disección geométrica en la que todas las piezas están conectadas en una cadena por puntos "con bisagras", de modo que la reorganización de una figura a otra se puede llevar a cabo balanceando la cadena continuamente, sin cortar ninguna de las conexiones. [2] Por lo general, se supone que se permite que las piezas se superpongan en el proceso de plegado y desplegado; [3] esto a veces se denomina el modelo de disección con bisagras de "bisagras tambaleantes". [4]

Historia

Disección con bisagras de Dudeney de un triángulo en un cuadrado.
Animación de disección articulada de hexagrama a triángulo y a cuadrado
Animación de disección articulada de hexagrama a triángulo y a cuadrado

El concepto de disecciones articuladas fue popularizado por el autor de acertijos matemáticos , Henry Dudeney . Introdujo la famosa disección articulada de un cuadrado en un triángulo (en la imagen) en su libro de 1907 The Canterbury Puzzles . [5] El teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien , demostrado por primera vez en 1807, establece que dos polígonos de igual área deben tener una disección común. Sin embargo, la cuestión de si dos de esos polígonos también deben compartir una disección articulada permaneció abierta hasta 2007, cuando Erik Demaine et al. demostraron que siempre debe existir una disección articulada de este tipo y proporcionaron un algoritmo constructivo para producirlas. [4] [6] [7] Esta prueba se mantiene incluso bajo el supuesto de que las piezas no pueden superponerse mientras se balancean, y se puede generalizar a cualquier par de figuras tridimensionales que tengan una disección común (véase el tercer problema de Hilbert ). [6] [8] Sin embargo, en tres dimensiones, no se garantiza que las piezas se balanceen sin superponerse. [9]

Otras bisagras

Cuadrado con bisagras a pentágono
Cuadrado con bisagras a pentágono

Se han considerado otros tipos de "bisagras" en el contexto de las disecciones. Una disección con bisagra de torsión es aquella que utiliza una "bisagra" tridimensional que se coloca en los bordes de las piezas en lugar de en sus vértices, lo que permite "darles la vuelta" tridimensionalmente. [10] [11] A partir de 2002, la cuestión de si dos polígonos deben tener una disección con bisagra de torsión común sigue sin resolverse. [12]

Referencias

  1. ^ Akiyama, Jin ; Nakamura, Gisaku (2000). "Disección de polígonos de Dudeney". Geometría discreta y computacional . Apuntes de clase en informática. Vol. 1763. págs. 14-29. doi :10.1007/978-3-540-46515-7_2. ISBN 978-3-540-67181-7.
  2. ^ Pitici, Mircea (septiembre de 2008). "Disecciones articuladas". Math Explorers Club . Universidad de Cornell . Consultado el 19 de diciembre de 2013 .
  3. ^ O'Rourke, Joseph (2003). "Columna 44 de geometría computacional". arXiv : cs/0304025v1 .
  4. ^ ab "Problema 47: Disecciones articuladas". The Open Problems Project . Smith College. 8 de diciembre de 2012. Consultado el 19 de diciembre de 2013 .
  5. ^ Frederickson 2002, pág. 1
  6. ^ ab Abbot, Timothy G.; Abel, Zachary; Charlton, David; Demaine, Erik D .; Demaine, Martin L .; Kominers, Scott D. (2008). "Existen disecciones articuladas". Actas del vigésimo cuarto simposio anual sobre geometría computacional - SCG '08 . pág. 110. arXiv : 0712.2094 . doi :10.1145/1377676.1377695. ISBN 9781605580715. Número de identificación del sujeto  3264789.
  7. ^ Bellos, Alex (30 de mayo de 2008). «La ciencia de la diversión». The Guardian . Consultado el 20 de diciembre de 2013 .
  8. ^ Phillips, Tony (noviembre de 2008). "La opinión de Tony Phillips sobre las matemáticas en los medios". Matemáticas en los medios . Consultado el 20 de diciembre de 2013 .
  9. ^ O'Rourke, Joseph (marzo de 2008). "Computational Geometry Column 50" (PDF) . Noticias de ACM SIGACT . 39 (1) . Consultado el 20 de diciembre de 2013 .
  10. ^ Frederickson 2002, pág. 6
  11. ^ Frederickson, Greg N. (2007). Simetría y estructura en disecciones con bisagras torcidas de anillos poligonales y antianillos poligonales (PDF) . Bridges 2007. The Bridges Organization . Consultado el 20 de diciembre de 2013 .
  12. ^ Frederickson 2002, pág. 7

Bibliografía

Enlaces externos