Perturbación (astronomía)

Enfoque clásico al problema de muchos cuerpos de la astronomía

Las fuerzas perturbadoras del Sol sobre la Luna en dos lugares de su órbita . Las flechas azules representan la dirección y magnitud de la fuerza gravitatoria sobre la Tierra . Al aplicar esto a la posición de la Tierra y la Luna, no se alteran las posiciones entre sí. Cuando se resta de la fuerza sobre la Luna (flechas negras), lo que queda es la fuerza perturbadora (flechas rojas) sobre la Luna en relación con la Tierra. Debido a que la fuerza perturbadora es diferente en dirección y magnitud en lados opuestos de la órbita, produce un cambio en la forma de la órbita.

En astronomía , la perturbación es el movimiento complejo de un cuerpo masivo sometido a fuerzas distintas a la atracción gravitatoria de otro cuerpo masivo . ^[1] Las otras fuerzas pueden incluir un tercer (cuarto, quinto, etc.) cuerpo, resistencia , como la de una atmósfera , y la atracción descentrada de un cuerpo achatado o deformado de otra manera. ^[2]

Introducción

El estudio de las perturbaciones comenzó con los primeros intentos de predecir los movimientos planetarios en el cielo. En la antigüedad, las causas eran desconocidas. Isaac Newton , en la época en que formuló sus leyes del movimiento y de la gravitación , las aplicó al primer análisis de las perturbaciones, ^[2] reconociendo las complejas dificultades de su cálculo. ^[a] Muchos de los grandes matemáticos desde entonces han prestado atención a los diversos problemas involucrados; a lo largo de los siglos XVIII y XIX hubo demanda de tablas precisas de la posición de la Luna y los planetas para la navegación marítima .

Los movimientos complejos de las perturbaciones gravitacionales se pueden descomponer. El movimiento hipotético que sigue el cuerpo bajo el efecto gravitacional de otro cuerpo solamente es una sección cónica , y se puede describir en términos geométricos . Esto se llama un problema de dos cuerpos , u órbita kepleriana no perturbada . Las diferencias entre eso y el movimiento real del cuerpo son perturbaciones debidas a los efectos gravitacionales adicionales del cuerpo o cuerpos restantes. Si solo hay otro cuerpo significativo, entonces el movimiento perturbado es un problema de tres cuerpos ; si hay varios otros cuerpos, es un problema de n cuerpos . Existe una solución analítica general (una expresión matemática para predecir las posiciones y movimientos en cualquier momento futuro) para el problema de dos cuerpos; cuando se consideran más de dos cuerpos, existen soluciones analíticas solo para casos especiales. Incluso el problema de dos cuerpos se vuelve insoluble si uno de los cuerpos tiene forma irregular. ^[6]

Longitud y latitud orbital de Mercurio , perturbadas por Venus , Júpiter y todos los planetas del Sistema Solar , a intervalos de 2,5 días. Mercurio permanecería centrado en la mira si no hubiera perturbaciones.

La mayoría de los sistemas que involucran múltiples atracciones gravitacionales presentan un cuerpo primario que es dominante en sus efectos (por ejemplo, una estrella , en el caso de la estrella y su planeta, o un planeta, en el caso del planeta y su satélite). Los efectos gravitacionales de los otros cuerpos pueden tratarse como perturbaciones del hipotético movimiento no perturbado del planeta o satélite alrededor de su cuerpo primario.

Análisis matemático

Perturbaciones generales

En los métodos de perturbaciones generales , las ecuaciones diferenciales generales, ya sea de movimiento o de cambio en los elementos orbitales , se resuelven analíticamente, generalmente mediante desarrollos en serie . El resultado suele expresarse en términos de funciones algebraicas y trigonométricas de los elementos orbitales del cuerpo en cuestión y los cuerpos perturbadores. Esto se puede aplicar de forma general a muchos conjuntos diferentes de condiciones y no es específico de ningún conjunto particular de objetos gravitacionales. ^[7] Históricamente, las perturbaciones generales se investigaron primero. Los métodos clásicos se conocen como variación de los elementos , variación de parámetros o variación de las constantes de integración . En estos métodos, se considera que el cuerpo siempre se mueve en una sección cónica , sin embargo, la sección cónica cambia constantemente debido a las perturbaciones. Si todas las perturbaciones cesaran en un instante particular, el cuerpo continuaría en esta sección cónica (ahora inmutable) indefinidamente; esta cónica se conoce como órbita osculadora y sus elementos orbitales en cualquier momento particular son lo que se busca mediante los métodos de perturbaciones generales. ^[2]

Las perturbaciones generales aprovechan el hecho de que en muchos problemas de mecánica celeste , la órbita de dos cuerpos cambia bastante lentamente debido a las perturbaciones; la órbita de dos cuerpos es una buena primera aproximación. Las perturbaciones generales son aplicables solo si las fuerzas perturbadoras son aproximadamente un orden de magnitud más pequeñas, o menores, que la fuerza gravitacional del cuerpo primario. ^[6] En el Sistema Solar , este suele ser el caso; Júpiter , el segundo cuerpo más grande, tiene una masa de aproximadamente ⁠1/ 1000 ⁠ el del sol .

Los métodos de perturbación general son los preferidos para algunos tipos de problemas, ya que la fuente de ciertos movimientos observados se encuentra fácilmente. Esto no es necesariamente así para perturbaciones especiales; los movimientos se predecirían con una precisión similar, pero no estaría disponible información sobre las configuraciones de los cuerpos perturbadores (por ejemplo, una resonancia orbital ) que los causaron. ^[6]

Perturbaciones especiales

En los métodos de perturbaciones especiales , los conjuntos de datos numéricos, que representan valores de las posiciones, velocidades y fuerzas de aceleración sobre los cuerpos de interés, se utilizan como base para la integración numérica de las ecuaciones diferenciales de movimiento . ^[8] En efecto, las posiciones y velocidades se perturban directamente, y no se intenta calcular las curvas de las órbitas o los elementos orbitales . ^[2]

Las perturbaciones especiales se pueden aplicar a cualquier problema de mecánica celeste , ya que no se limitan a casos en los que las fuerzas perturbadoras son pequeñas. ^{[6] Los métodos de perturbación especial, que antes se aplicaban solo a cometas y planetas menores, son ahora la base de} las efemérides planetarias generadas por máquina más precisas de los grandes almanaques astronómicos. ^{[2] [b]} Las perturbaciones especiales también se utilizan para modelar una órbita con computadoras.

La formulación de Cowell

Método de Cowell. Las fuerzas de todos los cuerpos perturbadores (negro y gris) se suman para formar la fuerza total sobre el cuerpo (rojo), y esta se integra numéricamente a partir de la posición inicial (la época de osculación ). ${\displaystyle \ i\ }$

La formulación de Cowell (llamada así por Philip H. Cowell , quien, con ACD Cromellin, utilizó un método similar para predecir el regreso del cometa Halley) es quizás el más simple de los métodos de perturbación especial. ^[9] En un sistema de cuerpos que interactúan mutuamente, este método resuelve matemáticamente las fuerzas newtonianas sobre el cuerpo sumando las interacciones individuales de los otros cuerpos: ${\displaystyle \ n\ }$ ${\displaystyle \ i\ }$ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} _{i}=\sum _{\underset {j\neq i}{j=1}}^{n}\ G\ m_{j}{\frac {\ (\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})\ }{\ \|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\|^{3}}}}$

donde es el vector de aceleración del cuerpo , es la constante gravitacional , es la masa del cuerpo , y son los vectores de posición de los objetos y respectivamente, y es la distancia de un objeto a otro , todos los vectores se refieren al baricentro del sistema. Esta ecuación se resuelve en componentes en y y estos se integran numéricamente para formar los nuevos vectores de velocidad y posición. Este proceso se repite tantas veces como sea necesario. La ventaja del método de Cowell es la facilidad de aplicación y programación. Una desventaja es que cuando las perturbaciones se vuelven grandes en magnitud (como cuando un objeto se acerca a otro) los errores del método también se vuelven grandes. ^[10] Sin embargo, para muchos problemas en mecánica celeste , este nunca es el caso. Otra desventaja es que en sistemas con un cuerpo central dominante, como el Sol , es necesario llevar muchos dígitos significativos en la aritmética debido a la gran diferencia en las fuerzas del cuerpo central y los cuerpos perturbadores, aunque con números de alta precisión integrados en las computadoras modernas esto no es una limitación tan grande como lo fue antes. ^[11] ${\displaystyle \ \mathbf {\ddot {r}} _{i}\ }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \ m_{j}\ }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \ \mathbf {r} _{i}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {r} _{j}\ }$ ${\displaystyle \ i\ }$ ${\displaystyle \ j\ }$ ${\displaystyle \ r_{ij}\equiv \|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}\|\ }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \ j\ }$ ${\displaystyle \ x\ ,}$ ${\displaystyle \ y\ ,}$ ${\displaystyle \ z\ ,}$

El método de Encke

Método de Encke. Muy exagerado aquí, la pequeña diferencia δ r (azul) entre la órbita osculante no perturbada (negra) y la órbita perturbada (roja), se integra numéricamente a partir de la posición inicial (la época de osculación ).

El método de Encke comienza con la órbita osculadora como referencia y realiza la integración numérica para calcular la variación con respecto a la referencia en función del tiempo. ^[12] Sus ventajas son que las perturbaciones son generalmente de magnitud pequeña, por lo que la integración puede realizarse en pasos más grandes (con los consiguientes errores menores), y el método se ve mucho menos afectado por perturbaciones extremas. Su desventaja es la complejidad; no se puede utilizar indefinidamente sin actualizar ocasionalmente la órbita osculadora y continuar a partir de ahí, un proceso conocido como rectificación . ^[10] El método de Encke es similar al método de perturbación general de variación de los elementos, excepto que la rectificación se realiza a intervalos discretos en lugar de de forma continua. ^{[13] [ cita completa requerida ]}

Sea el radio vector de la órbita osculadora , el radio vector de la órbita perturbada y la variación de la órbita osculadora, ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {\ddot {r}} }$y son solo las ecuaciones de movimiento de y ${\displaystyle {\boldsymbol {\ddot {\rho }}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }},}$

donde es el parámetro gravitacional con y las masas del cuerpo central y del cuerpo perturbado, es la aceleración perturbadora , y y son las magnitudes de y . ${\displaystyle \mu =G(M+m)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{\text{per}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$

Sustituyendo las ecuaciones ( 3 ) y ( 4 ) en la ecuación ( 2 ),

que, en teoría, podría integrarse dos veces para encontrar . Dado que la órbita osculadora se calcula fácilmente mediante métodos de dos cuerpos, y se tienen en cuenta y se pueden resolver. En la práctica, la cantidad entre paréntesis, , es la diferencia de dos vectores casi iguales, y es necesaria una mayor manipulación para evitar la necesidad de dígitos significativos adicionales . ^{[14] [15]} El método de Encke se utilizó más ampliamente antes de la llegada de las computadoras modernas , cuando gran parte del cálculo de la órbita se realizaba en máquinas calculadoras mecánicas . ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {{\boldsymbol {\rho }} \over \rho ^{3}}-{\mathbf {r} \over r^{3}}}$

Naturaleza periódica

Gráfico del simulador de gravedad que muestra la excentricidad orbital cambiante de Mercurio , Venus , la Tierra y Marte durante los próximos 50.000 años. El punto cero de este gráfico es el año 2007.

En el Sistema Solar, muchas de las perturbaciones de un planeta por otro son periódicas, es decir, consisten en pequeños impulsos cada vez que un planeta pasa por otro en su órbita. Esto hace que los cuerpos sigan movimientos periódicos o cuasiperiódicos, como la Luna en su órbita fuertemente perturbada , que es objeto de la teoría lunar . Esta naturaleza periódica condujo al descubrimiento de Neptuno en 1846 como resultado de sus perturbaciones de la órbita de Urano .

Las perturbaciones mutuas en curso de los planetas causan variaciones cuasi periódicas a largo plazo en sus elementos orbitales , más evidentes cuando los períodos orbitales de dos planetas están casi sincronizados. Por ejemplo, cinco órbitas de Júpiter (59,31 años) son casi iguales a dos de Saturno (58,91 años). Esto causa grandes perturbaciones de ambos, con un período de 918 años, el tiempo necesario para que la pequeña diferencia en sus posiciones en conjunción forme un círculo completo, descubierto por primera vez por Laplace . ^[2] Venus tiene actualmente la órbita con la menor excentricidad , es decir, es la más cercana a la circular , de todas las órbitas planetarias. En 25.000 años, la Tierra tendrá una órbita más circular (menos excéntrica) que Venus. Se ha demostrado que las perturbaciones periódicas a largo plazo dentro del Sistema Solar pueden volverse caóticas en escalas de tiempo muy largas; en algunas circunstancias, uno o más planetas pueden cruzar la órbita de otro, lo que lleva a colisiones. ^[c]

Las órbitas de muchos de los cuerpos menores del Sistema Solar, como los cometas , suelen sufrir fuertes perturbaciones, en particular por los campos gravitatorios de los gigantes gaseosos . Si bien muchas de estas perturbaciones son periódicas, otras no lo son, y estas en particular pueden representar aspectos del movimiento caótico . Por ejemplo, en abril de 1996, la influencia gravitatoria de Júpiter provocó que el período de la órbita del cometa Hale–Bopp disminuyera de 4206 a 2380 años, un cambio que no se revertirá en ninguna base periódica. ^[16]

Véase también

• Formación y evolución del Sistema Solar
• Órbita congelada
• Órbita de Molniya
• Nereida es una de las lunas exteriores de Neptuno con una excentricidad orbital alta de ~0,75 y se perturba con frecuencia.
• Órbita osculante
• Modelado de órbitas
• Resonancia orbital
• Teoría de la perturbación
• Elementos orbitales propios
• Estabilidad del sistema solar

Referencias

Notas al pie

1. Newton (1684) escribió:
   "Debido a la desviación del Sol respecto del centro de gravedad, la fuerza centrípeta no tiende siempre a ese centro inmóvil, y por ello los planetas no se mueven exactamente en elipses ni giran dos veces en la misma órbita. Cada vez que un planeta gira, traza una nueva órbita, como en el movimiento de la Luna, y cada órbita depende de los movimientos combinados de todos los planetas, por no hablar de la acción de todos ellos sobre los demás. Pero considerar simultáneamente todas estas causas del movimiento y definir estos movimientos mediante leyes exactas que admitan un cálculo fácil excede, si no me equivoco, la fuerza de cualquier mente humana". ^{[3] [5]}
2. Véase, por ejemplo, el artículo de Wikipedia sobre las Efemérides de desarrollo del Laboratorio de Propulsión a Chorro .
3. Véanse las referencias del artículo de Wikipedia Estabilidad del Sistema Solar .

Citas

1. Bate, Mueller y White (1971), cap. 9, pág. 385
2. Moulton (1914), cap. IX
3. Newton citado por el profesor GE Smith (Universidad de Tufts), en
   Smith, GE [stanford.edu/dept/cisst/SmithPowerpointTalk1.ppt "Cerrando el círculo: probando la gravedad newtoniana, entonces y ahora"] ( PowerPoint ) (charla del simposio). Tres conferencias sobre el papel de la teoría en la ciencia. Universidad de Stanford. {{cite web}}: Verificar |url=valor ( ayuda )
4. Egerton, RF "Newton" (notas del curso). Física 311-12. Portland, OR: Portland State University . Archivado desde el original el 10 de marzo de 2005, a través de physics.pdx.edu.
5. Después de citar el mismo pasaje de Newton ^[3], el profesor RF Egerton (Universidad Estatal de Portland) concluye: "Aquí, Newton identifica el "problema de muchos cuerpos" que permanece sin resolver analíticamente". ^[4]
6. Roy (1988), capítulos 6-7
7. Bate, Mueller y White (1971), pág. 387; pág. 410 §9.4.3
8. Bate, Mueller y White (1971), págs. 387-409
9. Cowell, PH; Crommelin, ACD (1910). "Investigación del movimiento del cometa Halley desde 1759 hasta 1910". Observaciones de Greenwich en astronomía . 71 . Bellevue, para His Majesty's Stationery Office: Neill & Co.: O1. Código Bibliográfico :1911GOAMM..71O...1C.
10. Danby, JMA (1988). Fundamentos de mecánica celeste (2.ª ed.). Willmann-Bell, Inc., capítulo 11. ISBN 0-943396-20-4.
11. Herget, Paul (1948). El cálculo de las órbitas . Autoedición. Pág. 91 y sigs.
12. Encke, JF (1857). Über die allgemeinen Störungen der Planeten. Berliner Astronomisches Jahrbuch für 1857 (publicado en 1854). págs. 319–397.
13. Battin (1999), §10.2 harvp error: no target: CITEREFBattin1999 (help)
14. Bate, Mueller y White (1971), §9.3
15. Roy (1988), §7.4
16. Yeomans, Don (10 de abril de 1997). "Información sobre la órbita y las efemérides del cometa Hale–Bopp". Pasadena, CA: Laboratorio de Propulsión a Chorro de la NASA . Consultado el 23 de octubre de 2008 .

Bibliografía

• Bate, Roger R .; Mueller, Donald D.; White, Jerry E. (1971). Fundamentos de la astrodinámica . Nueva York, NY: Dover Publications . ISBN . 0-486-60061-0.
• Moulton, FR (1914). Introducción a la mecánica celeste (2.ª edición revisada). Macmillan.
• Roy, AE (1988). Movimiento orbital (3.ª ed.). Instituto de publicaciones de física. ISBN 0-85274-229-0.

Lectura adicional

• PE El'Yasberg: Introducción a la teoría del vuelo de los satélites artificiales terrestres

Enlaces externos

• Predicciones de Solex (por Aldo Vitagliano) sobre la posición/órbita/aproximación de Marte
• Gravitación Libro de Sir George Biddell Airy de 1884 sobre el movimiento gravitacional y las perturbaciones, que utiliza poco o nada de matemáticas. (en Google books)