Matriz persimétrica

Matriz cuadrada simétrica respecto de su antidiagonal

En matemáticas , matriz persimétrica puede referirse a:

1. una matriz cuadrada que es simétrica con respecto a la diagonal noreste-suroeste (antidiagonal); o
2. una matriz cuadrada tal que los valores de cada línea perpendicular a la diagonal principal sean los mismos para una línea dada.

La primera definición es la más común en la literatura reciente. La designación " matriz de Hankel " se utiliza a menudo para matrices que satisfacen la propiedad de la segunda definición.

Definición 1

Patrón de simetría de una matriz persimétrica de 5 × 5

Sea A = ( a _ij ) una matriz n  ×  n . La primera definición de persimétrico requiere que

$${\displaystyle a_{ij}=a_{n-j+1,\,n-i+1}}$$

i , j^[1]

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}&a_{15}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}&a_{14}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{23}&a_{13}\\a_{41}&a_{42}&a_{32}&a_{22}&a_{12}\\a_{51}&a_{41}&a_{31}&a_{21}&a_{11}\end{bmatrix}}.}$$

Esto puede expresarse de manera equivalente como AJ = JA ^T donde J es la matriz de intercambio .

Una tercera forma de expresar esto se ve multiplicando posteriormente AJ = JA ^T con J en ambos lados, lo que muestra que A ^T girado 180 grados es idéntico a A :

$${\displaystyle A=JA^{\mathsf {T}}J.}$$

Una matriz simétrica es una matriz cuyos valores son simétricos en la diagonal de noroeste a sureste. Si una matriz simétrica se gira 90°, se convierte en una matriz persimétrica. Las matrices persimétricas simétricas a veces se denominan matrices bisimétricas .

Definición 2

La segunda definición se la debemos a Thomas Muir . ^[2] Dice que la matriz cuadrada A = ( a _ij ) es persimétrica si a _ij depende sólo de i + j . Las matrices persimétricas en este sentido, o matrices de Hankel como a menudo se las llama, tienen la forma

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}r_{1}&r_{2}&r_{3}&\cdots &r_{n}\\r_{2}&r_{3}&r_{4}&\cdots &r_{n+1}\\r_{3}&r_{4}&r_{5}&\cdots &r_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n}&r_{n+1}&r_{n+2}&\cdots &r_{2n-1}\end{bmatrix}}.}$$

determinante persimétricodeterminante^[2]

Una matriz en la que los valores de cada recta paralela a la diagonal principal son constantes se llama matriz de Toeplitz .

Ver también

• Matriz centrosimétrica

Referencias

1. Golub, gen H .; Van Loan, Charles F. (1996), Computaciones matriciales (3.ª ed.), Baltimore: Johns Hopkins, ISBN 978-0-8018-5414-9. Ver página 193.
2. Muir, Thomas (1960), Tratado sobre la teoría de los determinantes , Dover Press, pág. 419