Construcción de la bisectriz perpendicular de un cuadrilátero

En geometría , la construcción de la mediatriz de un cuadrilátero es una construcción que produce un nuevo cuadrilátero a partir de un cuadrilátero dado utilizando las mediatrices de los lados del cuadrilátero anterior. Esta construcción surge de manera natural en un intento de encontrar un reemplazo para el circuncentro de un cuadrilátero en el caso de que no sea cíclico.

Definición de la construcción

Supóngase que los vértices del cuadrilátero están dados por . Sean las mediatrices de los lados respectivamente. Entonces sus intersecciones , con subíndices considerados módulo 4, forman el cuadrilátero consecuente . Luego se itera la construcción para producir y así sucesivamente. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},Q_{3},Q_{4}}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2},Q_{2}Q_{3},Q_{3}Q_{4},Q_{4}Q_{1}}$ ${\displaystyle Q_{i}^{(2)}=b_{i+2}b_{i+3}}$ ${\displaystyle Q^{(2)}}$ ${\displaystyle Q^{(2)}}$ ${\displaystyle Q^{(3)}}$

Primera iteración de la construcción de la bisectriz perpendicular

Se puede obtener una construcción equivalente dejando como vértices de los circuncentros de los 4 triángulos formados al seleccionar combinaciones de 3 vértices de . ${\displaystyle Q^{(i+1)}}$ ${\displaystyle Q^{(i)}}$

Propiedades

1. Si no es cíclico, entonces no es degenerado. ^[1] ${\displaystyle Q^{(1)}}$ ${\displaystyle Q^{(2)}}$

2. El cuadrilátero nunca es cíclico. ^[1] La combinación de #1 y #2, siempre es no degenerada. ${\displaystyle Q^{(2)}}$ ${\displaystyle Q^{(3)}}$

3. Los cuadriláteros y son homotéticos y, en particular, semejantes . ^[2] Los cuadriláteros y también son homotéticos. ${\displaystyle Q^{(1)}}$ ${\displaystyle Q^{(3)}}$ ${\displaystyle Q^{(2)}}$ ${\displaystyle Q^{(4)}}$

3. La construcción de la bisectriz perpendicular se puede invertir mediante conjugación isogonal . ^[3] Es decir, dado , es posible construir . ${\displaystyle Q^{(i+1)}}$ ${\displaystyle Q^{(i)}}$

4. Sean los ángulos de . Para cada , la razón de las áreas de y está dada por ^[3] ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ ${\displaystyle Q^{(1)}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Q^{(i)}}$ ${\displaystyle Q^{(i+1)}}$

${\displaystyle (1/4)(\cot(\alpha )+\cot(\gamma ))(\cot(\beta )+\cot(\delta )).}$

5. Si es convexo entonces la sucesión de cuadriláteros converge al punto isóptico de , que es también el punto isóptico para cada . De manera similar, si es cóncavo, entonces la sucesión obtenida al invertir la construcción converge al punto isóptico de los . ^[3] ${\displaystyle Q^{(1)}}$ ${\displaystyle Q^{(1)},Q^{(2)},\ldots }$ ${\displaystyle Q^{(1)}}$ ${\displaystyle Q^{(i)}}$ ${\displaystyle Q^{(1)}}$ ${\displaystyle Q^{(1)},Q^{(0)},Q^{(-1)},\ldots }$ ${\displaystyle Q^{(i)}}$

6. Si es tangencial entonces también es tangencial. ^[4] ${\displaystyle Q^{(1)}}$ ${\displaystyle Q^{(2)}}$

Referencias

1. J. King, Cuadriláteros formados por bisectrices perpendiculares, en Geometry Turned On , (ed. J. King), MAA Notes 41, 1997, págs. 29–32.
2. GC Shephard, La construcción de la bisectriz perpendicular, Geom. Dedicata , 56 (1995) 75–84.
3. O. Radko y E. Tsukerman, La construcción de la bisectriz perpendicular, el punto isóptico y la línea de Simson de un cuadrilátero, Forum Geometricorum 12 : 161–189 (2012).
4. de Villiers, Michael (2009), Algunas aventuras en geometría euclidiana, Dynamic Mathematics Learning, pág. 192-193, ISBN 9780557102952.

• J. Langr, Problema E1050, Amer. Math. Monthly , 60 (1953) 551.
• VV Prasolov, Problemas de geometría plana , vol. 1 (en ruso), 1991; Problema 6.31.
• V. V. Prasolov, Problemas de geometría plana y sólida , vol. 1 (traducido por D. Leites)
• D. Bennett, La geometría dinámica renueva el interés en un viejo problema, en Geometry Turned On , (ed. J. King), MAA Notes 41, 1997, págs. 25-28.
• J. King, Cuadriláteros formados por bisectrices perpendiculares, en Geometry Turned On , (ed. J. King), MAA Notes 41, 1997, págs. 29–32.
• GC Shephard, La construcción de la bisectriz perpendicular, Geom. Dedicata , 56 (1995) 75–84.
• A. Bogomolny , Cuadriláteros formados por bisectrices perpendiculares, Miscelánea interactiva de matemáticas y rompecabezas , http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PerpBisectQuadri.shtml.
• B. Grünbaum, Sobre cuadrángulos derivados de cuadrángulos—Parte 3, Geombinatorics 7(1998), 88–94.
• O. Radko y E. Tsukerman, La construcción de la bisectriz perpendicular, el punto isóptico y la línea de Simson de un cuadrilátero, Forum Geometricorum 12 : 161–189 (2012).

Enlaces externos

• Teorema de las bisectrices perpendiculares de un cuadrilátero circunscrito en Dynamic Geometry Sketches, bocetos de geometría dinámica interactivos.