Entero positivo que es una potencia entera de otro entero positivo
Demostración, con varillas Cuisenaire , de la naturaleza de potencia perfecta del 4, 8 y 9.
En matemáticas , una potencia perfecta es un número natural que es producto de factores naturales iguales, o, en otras palabras, un número entero que puede expresarse como un cuadrado o una potencia entera superior de otro número entero mayor que uno. Más formalmente, n es una potencia perfecta si existen números naturales m > 1 y k > 1 tales que m k = n . En este caso, n puede denominarse k -ésima potencia perfecta . Si k = 2 o k = 3, entonces n se llama cuadrado perfecto o cubo perfecto , respectivamente. A veces, 0 y 1 también se consideran potencias perfectas (0 k = 0 para cualquier k > 0, 1 k = 1 para cualquier k ).
Ejemplos y sumas
Se puede generar una secuencia de potencias perfectas iterando los valores posibles para m y k . Los primeros poderes perfectos ascendentes en orden numérico (que muestran poderes duplicados) son (secuencia A072103 en la OEIS ):
La suma de los recíprocos de las potencias perfectas (incluidos duplicados como 3 4 y 9 2 , ambos iguales a 81) es 1:
que se puede demostrar de la siguiente manera:
Los primeros poderes perfectos sin duplicados son:
Según Euler , Goldbach demostró (en una carta ahora perdida) que la suma de 1/pag -1 sobre el conjunto de potencias perfectas p , excluyendo 1 y excluyendo duplicados, es 1:
Detectar si un número natural dado n es o no una potencia perfecta se puede lograr de muchas maneras diferentes, con distintos niveles de complejidad . Uno de los métodos más simples es considerar todos los valores posibles para k en cada uno de los divisores de n , hasta . Entonces, si los divisores de son entonces uno de los valores debe ser igual a n si n es de hecho una potencia perfecta.
Este método puede simplificarse inmediatamente considerando solo valores primos de k . Esto se debe a que si se trata de un compuesto donde p es primo, entonces esto puede simplemente reescribirse como . Debido a este resultado, el valor mínimo de k debe ser necesariamente primo.
Si se conoce la factorización completa de n , digamos que son primos distintos, entonces n es una potencia perfecta si y sólo si donde mcd denota el máximo común divisor . Como ejemplo, considere n = 2 96 ·3 60 ·7 24 . Dado que mcd(96, 60, 24) = 12, n es una 12.ª potencia perfecta (y una 6.ª potencia, una 4.ª potencia, un cubo y un cuadrado perfectos, ya que 6, 4, 3 y 2 dividen a 12).
Brechas entre poderes perfectos
En 2002 el matemático rumano Preda Mihăilescu demostró que el único par de potencias perfectas consecutivas es 2 3 = 8 y 3 2 = 9, demostrando así la conjetura del catalán .
La conjetura de Pillai establece que para cualquier entero positivo k dado sólo hay un número finito de pares de potencias perfectas cuya diferencia es k . Este es un problema sin resolver. [2]
Daniel J. Bernstein (1998). "Detección de poderes perfectos en un tiempo esencialmente lineal" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 67 (223): 1253–1283. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00952-1 .
enlaces externos
Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader y Jaume Paradís, Sobre una serie de Goldbach y Euler, 2004 (Pdf)