Paseo cuántico

Variaciones cuánticas de los paseos aleatorios

Los paseos cuánticos son análogos cuánticos de los paseos aleatorios clásicos . A diferencia del paseo aleatorio clásico, donde el caminante ocupa estados definidos y la aleatoriedad surge debido a transiciones estocásticas entre estados , en los paseos cuánticos la aleatoriedad surge a través de (1) superposición cuántica de estados, (2) evolución unitaria reversible no aleatoria y (3) colapso de la función de onda debido a mediciones de estados .

Al igual que los paseos aleatorios clásicos, los paseos cuánticos admiten formulaciones tanto en tiempo discreto como en tiempo continuo . ^[1]

Motivación

Los paseos cuánticos están motivados por el uso generalizado de paseos aleatorios clásicos en el diseño de algoritmos aleatorios y son parte de varios algoritmos cuánticos . Para algunos problemas oraculares , los paseos cuánticos proporcionan una aceleración exponencial sobre cualquier algoritmo clásico. ^{[2] [3]} Los paseos cuánticos también dan aceleraciones polinomiales sobre los algoritmos clásicos para muchos problemas prácticos, como el problema de distinción de elementos , ^[4] el problema de búsqueda de triángulos , ^[5] y la evaluación de árboles NAND. ^[6] El conocido algoritmo de búsqueda Grover también puede verse como un algoritmo de paseo cuántico.

Relación con los paseos aleatorios clásicos

Los paseos cuánticos presentan características muy diferentes a los paseos aleatorios clásicos. En particular, no convergen a distribuciones limitantes y, debido al poder de la interferencia cuántica , pueden propagarse significativamente más rápido o más lento que sus equivalentes clásicos.

Tiempo continuo

Los paseos cuánticos en tiempo continuo surgen cuando se reemplaza el dominio espacial continuo en la ecuación de Schrödinger por un conjunto discreto. Es decir, en lugar de tener una partícula cuántica propagándose en un continuo, se restringe el conjunto de posibles estados de posición al conjunto de vértices de algún grafo que puede ser finito o infinito numerable. En condiciones particulares, los paseos cuánticos en tiempo continuo pueden proporcionar un modelo para la computación cuántica universal . ^[7] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G=(V,E)}$

Relación con la dinámica de Schrödinger no relativista

Consideremos la dinámica de una partícula cuántica libre, no relativista y sin espín, con masa que se propaga en un dominio espacial unidimensional infinito. El movimiento de la partícula está completamente descrito por su función de onda , que satisface la ecuación de Schrödinger de la partícula libre unidimensional. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \psi :\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\textbf {i}}\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}}$

donde y es la constante de Planck reducida. Ahora supongamos que solo se discretiza la parte espacial del dominio, siendo reemplazada por donde es la separación entre los sitios espaciales que la partícula puede ocupar. La función de onda se convierte en el mapa y la segunda derivada parcial espacial se convierte en el laplaciano discreto. ${\displaystyle {\textbf {i}}={\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\Delta x}\equiv \{\ldots ,-2\,\Delta x,-\Delta x,0,\Delta x,2\,\Delta x,\ldots \}}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \psi :\mathbb {Z} _{\Delta x}\times \mathbb {R} _{\geq 0}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}\to {\frac {L_{\mathbb {Z} }\psi (j\,\Delta x,t)}{\Delta x^{2}}}\equiv {\frac {\psi \left((j+1)\,\Delta x,t\right)-2\psi \left(j\,\Delta x,t\right)+\psi \left((j-1)\,\Delta x,t\right)}{\Delta x^{2}}}}$

La ecuación de evolución para un paseo cuántico en el tiempo continuo es, por tanto, ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\Delta x}}$

${\displaystyle {\textbf {i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-\omega _{\Delta x}L_{\mathbb {Z} }\psi }$

donde es una frecuencia característica. Esta construcción se generaliza naturalmente al caso en que el dominio espacial discretizado es un grafo arbitrario y el laplaciano discreto se reemplaza por el laplaciano del grafo donde y son la matriz de grados y la matriz de adyacencia , respectivamente. Las opciones comunes de grafos que aparecen en el estudio de los paseos cuánticos de tiempo continuo son las redes d -dimensionales , los grafos cíclicos , los toros discretos d -dimensionales , el hipercubo d -dimensional y los grafos aleatorios. ${\displaystyle \omega _{\Delta x}\equiv \hbar /2m\,\Delta x^{2}}$ ${\displaystyle G=(V,E)}$ ${\displaystyle L_{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle L_{G}\equiv D_{G}-A_{G}}$ ${\displaystyle D_{G}}$ ${\displaystyle A_{G}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{d}}$

Tiempo discreto

Los paseos cuánticos en tiempo discreto continúan O {\displaystyle \mathbb {Z}}

Distribución de probabilidad resultante de recorridos aleatorios unidimensionales en tiempo discreto. Se representa gráficamente el recorrido cuántico creado con la moneda de Hadamard ( naranja ) frente a un recorrido clásico ( azul ) después de 50 pasos de tiempo.

La evolución de un paseo cuántico en tiempo discreto se especifica mediante el producto de dos operadores unitarios: (1) un operador de "lanzamiento de moneda" y (2) un operador de desplazamiento condicional, que se aplican repetidamente. El siguiente ejemplo es ilustrativo en este sentido. ^[8] Imaginemos una partícula con un grado de libertad de espín 1/2 que se propaga en una matriz lineal de sitios discretos. Si el número de dichos sitios es infinito numerable, identificamos el espacio de estados con . El estado de la partícula puede describirse entonces mediante un estado de producto ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle |\Psi \rangle =|s\rangle \otimes |\psi \rangle }$

que consiste en un estado de espín interno

${\displaystyle |s\rangle \in {\mathcal {H}}_{C}=\left\{a_{\uparrow }|{\uparrow }\rangle +a_{\downarrow }|{\downarrow }\rangle :a_{\uparrow /\downarrow }\in \mathbb {C} \right\}}$

y un estado de posición

${\displaystyle |\psi \rangle \in {\mathcal {H}}_{P}=\left\{\sum _{x\in \mathbb {Z} }\alpha _{x}|x\rangle :\sum _{x\in \mathbb {Z} }|\alpha _{x}|^{2}<\infty \right\}}$

donde es el "espacio de monedas" y es el espacio de estados de posición cuánticos físicos. El producto en este contexto es el producto de Kronecker (tensor). El operador de desplazamiento condicional para el paseo cuántico sobre la línea está dado por ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{C}=\mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{P}=\ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle S=|{\uparrow }\rangle \langle {\uparrow }|\otimes \sum \limits _{i}|i+1\rangle \langle i|+|{\downarrow }\rangle \langle {\downarrow }|\otimes \sum \limits _{i}|i-1\rangle \langle i|,}$

es decir, la partícula salta a la derecha si tiene espín hacia arriba y a la izquierda si tiene espín hacia abajo. Explícitamente, el operador de desplazamiento condicional actúa sobre los estados del producto de acuerdo con

${\displaystyle S(|{\uparrow }\rangle \otimes |i\rangle )=|{\uparrow }\rangle \otimes |i+1\rangle }$

${\displaystyle S(|{\downarrow }\rangle \otimes |i\rangle )=|{\downarrow }\rangle \otimes |i-1\rangle }$

Si primero rotamos el espín con alguna transformación unitaria y luego aplicamos , obtenemos un movimiento cuántico no trivial en . Una opción popular para dicha transformación es la puerta de Hadamard , que, con respecto a la base de espín del componente z estándar , tiene una representación matricial ${\displaystyle C:{\mathcal {H}}_{C}\to {\mathcal {H}}_{C}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle C=H}$

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&\;\;1\\1&-1\end{pmatrix}}}$

Cuando se hace esta elección para el operador de lanzamiento de moneda, el operador en sí se denomina "moneda de Hadamard" y el paseo cuántico resultante se denomina "paseo de Hadamard". Si el caminante se inicializa en el origen y en el estado de giro ascendente, un único paso de tiempo del paseo de Hadamard es ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle |{\uparrow }\rangle \otimes |0\rangle \;\,{\overset {H}{\longrightarrow }}\;\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{\uparrow }\rangle +|{\downarrow }\rangle )\otimes |0\rangle \;\,{\overset {S}{\longrightarrow }}\;\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{\uparrow }\rangle \otimes |1\rangle +|{\downarrow }\rangle \otimes |{-1}\rangle ).}$

La medición del estado del sistema en este punto revelaría un giro ascendente en la posición 1 o un giro descendente en la posición −1, ambos con probabilidad 1/2. Repetir el procedimiento correspondería a un paseo aleatorio simple clásico en . Para observar el movimiento no clásico, no se realiza ninguna medición en el estado en este punto (y por lo tanto no se fuerza un colapso de la función de onda). En su lugar, se repite el procedimiento de rotar el giro con el operador de lanzamiento de moneda y saltar condicionalmente con . De esta manera, se conservan las correlaciones cuánticas y los diferentes estados de posición pueden interferir entre sí. Esto da una distribución de probabilidad drásticamente diferente a la del paseo aleatorio clásico (distribución gaussiana) como se ve en la figura de la derecha. Espacialmente, se ve que la distribución no es simétrica: aunque la moneda de Hadamard da tanto giro ascendente como descendente con la misma probabilidad, la distribución tiende a desviarse hacia la derecha cuando el giro inicial es . Esta asimetría se debe enteramente al hecho de que la moneda de Hadamard trata el estado y de forma asimétrica. Una distribución de probabilidad simétrica surge si se elige que el estado inicial sea ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |{\uparrow }\rangle }$ ${\displaystyle |{\uparrow }\rangle }$ ${\displaystyle |{\downarrow }\rangle }$

${\displaystyle |\Psi _{0}^{\text{symm}}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|{\uparrow }\rangle -{\textbf {i}}|{\downarrow }\rangle )\otimes |0\rangle }$

Ecuación de Dirac

Consideremos lo que sucede cuando discretizamos un operador de Dirac masivo sobre una dimensión espacial . En ausencia de un término de masa, tenemos operadores que se mueven hacia la izquierda y operadores que se mueven hacia la derecha. ^{[ aclaración necesaria ]} Pueden caracterizarse por un grado de libertad interno , un "giro" o una "moneda". Cuando activamos un término de masa, esto corresponde a una rotación en este espacio interno de "moneda". Un paseo cuántico corresponde a la iteración repetida de los operadores de desplazamiento y de moneda.

Esto es muy parecido al modelo de Richard Feynman de un electrón en una dimensión espacial y una dimensión temporal. Resumió las trayectorias en zigzag, con segmentos que se mueven hacia la izquierda correspondientes a un giro (o moneda) y segmentos que se mueven hacia la derecha correspondientes al otro. Vea el tablero de ajedrez de Feynman para más detalles.

La probabilidad de transición para un paseo cuántico unidimensional se comporta como las funciones de Hermite que (1) oscilan asintóticamente en la región clásicamente permitida, (2) se aproxima mediante la función de Airy alrededor de la pared del potencial, ^{[ aclaración necesaria ]} y (3) decaen exponencialmente en la región clásicamente oculta. ^[9]

Realización

La red atómica es la plataforma cuántica líder en términos de escalabilidad. Se podría lograr un recorrido cuántico discreto con monedas y sin monedas en la red atómica mediante una interacción de intercambio de espín selectiva en función de la distancia. ^[10] Cabe destacar que la plataforma conserva la coherencia en cientos de sitios y pasos en 1, 2 o 3 dimensiones en el espacio espacial. La interacción dipolar de largo alcance permite diseñar condiciones de contorno periódicas, lo que facilita el recorrido cuántico en superficies topológicas. ^[10]

Véase también

• Formulación de la integral de trayectoria
• Búsqueda de paseos cuánticos

Referencias

1. Mlodinow, Leonard; Brun, Todd A. (30 de abril de 2018). "Espacio-tiempo discreto, paseos cuánticos y ecuaciones de onda relativistas". Physical Review A . 97 (4): 042131. arXiv : 1802.03910 . doi :10.1103/PhysRevA.97.042131.
2. AM Childs, R. Cleve , E. Deotto, E. Farhi , S. Gutmann y DA Spielman , Aceleración algorítmica exponencial mediante caminata cuántica, Proc. 35.º Simposio ACM sobre teoría de la computación, págs. 59-68, 2003, arXiv :quant-ph/0209131.
3. AM Childs, LJ Schulman y UV Vazirani , Algoritmos cuánticos para estructuras no lineales ocultas, Proc. 48.º Simposio IEEE sobre fundamentos de la ciencia de la computación, págs. 395-404, 2007, arXiv :0705.2784.
4. Andris Ambainis , Algoritmo de paseo cuántico para distinción de elementos, SIAM J. Comput. 37 (2007), núm. 1, 210–239, arXiv :quant-ph/0311001, versión preliminar en FOCS 2004.
5. F. Magniez, M. Santha y M. Szegedy , Algoritmos cuánticos para el problema del triángulo, Proc. 16.º Simposio ACM-SIAM sobre algoritmos discretos, págs. 1109-1117, 2005, quant-ph/0310134.
6. E. Farhi, J. Goldstone y S. Gutmann, Un algoritmo cuántico para el árbol NAND hamiltoniano, Theory of Computing 4 (2008), n.º 1, 169-190, quant-ph/0702144
7. Andrew M. Childs, "Computación universal mediante paseo cuántico".
8. Kempe, Julia (1 de julio de 2003). "Paseos aleatorios cuánticos: una visión general introductoria". Contemporary Physics . 44 (4): 307–327. arXiv : quant-ph/0303081 . Código Bibliográfico :2003ConPh..44..307K. doi :10.1080/00107151031000110776. ISSN  0010-7514. S2CID  17300331.
9. T. Sunada y T. Tate, Comportamiento asintótico de los paseos cuánticos sobre la línea, Journal of Functional Analysis 262 (2012) 2608–2645
10. Khazali, Mohammadsadegh (3 de marzo de 2022). "Aisladores topológicos de Floquet y paseo cuántico en tiempo discreto mediante interacción de Rydberg selectiva a la distancia". Quantum . 6 : 664. arXiv : 2101.11412 . Bibcode :2022Quant...6..664K. doi : 10.22331/q-2022-03-03-664 . ISSN  2521-327X. S2CID  246635019.

Lectura adicional

• Julia Kempe (2003). "Paseos aleatorios cuánticos: una introducción general". Contemporary Physics . 44 (4): 307–327. arXiv : quant-ph/0303081 . Bibcode :2003ConPh..44..307K. doi :10.1080/00107151031000110776. S2CID  17300331.
• Andris Ambainis (2003). "Paseos cuánticos y sus aplicaciones algorítmicas". Revista Internacional de Información Cuántica . 1 (4): 507–518. arXiv : quant-ph/0403120 . doi :10.1142/S0219749903000383. S2CID  10324299.
• Santha, Miklos (2008). "Algoritmos de búsqueda basados ​​en paseos cuánticos". Teoría y aplicaciones de modelos de computación . Apuntes de clase en informática. Vol. 4978. págs. 31–46. arXiv : 0808.0059 . doi :10.1007/978-3-540-79228-4_3. ISBN . 978-3-540-79227-7.
• Salvador E. Venegas-Andraca (2012). "Caminatas cuánticas: una revisión exhaustiva". Procesamiento de información cuántica . 11 (5): 1015–1106. arXiv : 1201.4780 . doi :10.1007/s11128-012-0432-5. S2CID  27676690.
• Salvador E. Venegas-Andraca (2008). Paseos cuánticos para científicos informáticos . Morgan & Claypool Publishers. ISBN 978-1598296563.
• Kia Manouchehri, Jingbo Wang (2014). Implementación física de paseos cuánticos . Springer. ISBN 978-3-642-36014-5.

Enlaces externos

• Taller internacional sobre fundamentos matemáticos y físicos del paseo cuántico en tiempo discreto
• Paseo cuántico
• Implementaciones de paseos cuánticos discretos con Classiq