En matemáticas , un paseo autoevitativo ( SAW , por sus siglas en inglés ) es una secuencia de movimientos en una red (una ruta de red ) que no visita el mismo punto más de una vez. Este es un caso especial de la noción de ruta de la teoría de grafos . Un polígono autoevitativo ( SAP , por sus siglas en inglés) es un paseo autoevitativo cerrado en una red. Se sabe muy poco rigurosamente sobre el paseo autoevitativo desde una perspectiva matemática, aunque los físicos han proporcionado numerosas conjeturas que se cree que son verdaderas y están fuertemente respaldadas por simulaciones numéricas.
En física computacional , un camino autoevitativo es un camino en forma de cadena en R 2 o R 3 con una cierta cantidad de nodos, típicamente una longitud de paso fija y tiene la propiedad de que no se cruza consigo mismo ni con otro camino. Un sistema de SAW satisface la llamada condición de volumen excluido . En dimensiones superiores, se cree que el SAW se comporta de manera muy similar al camino aleatorio ordinario .
Las SAW y las SAP desempeñan un papel central en el modelado del comportamiento topológico y teórico de nudos de moléculas con forma de hilo y bucle, como las proteínas . De hecho, las SAW pueden haber sido introducidas por primera vez por el químico Paul Flory [1] [ dudoso – discutir ] para modelar el comportamiento real de entidades con forma de cadena, como solventes y polímeros , cuyo volumen físico prohíbe la ocupación múltiple del mismo punto espacial.
Las SAW son fractales . Por ejemplo, en d = 2 la dimensión fractal es 4/3, para d = 3 es cercana a 5/3 mientras que para d ≥ 4 la dimensión fractal es 2. La dimensión se denomina dimensión crítica superior por encima de la cual el volumen excluido es insignificante. Una SAW que no satisface la condición de volumen excluido fue estudiada recientemente para modelar la geometría de superficie explícita resultante de la expansión de una SAW. [2] [ aclaración necesaria ]
Las propiedades de las SAW no se pueden calcular analíticamente, por lo que se emplean simulaciones numéricas. El algoritmo pivote es un método común para las simulaciones de Monte Carlo de cadena de Markov para la medida uniforme en caminatas autoevitativas de n pasos. El algoritmo pivote funciona tomando una caminata autoevitativa y eligiendo aleatoriamente un punto en esta caminata, y luego aplicando transformaciones simétricas (rotaciones y reflexiones) en la caminata después del n -ésimo paso para crear una nueva caminata.
Calcular el número de recorridos que se autoevaden en cualquier red dada es un problema computacional común . Actualmente no existe una fórmula conocida, aunque existen métodos rigurosos de aproximación. [3] [4]
Uno de los fenómenos asociados con los paseos autoevitativos y los modelos de física estadística en general es la noción de universalidad , es decir, la independencia de los observables macroscópicos de los detalles microscópicos, como la elección de la red. Una cantidad importante que aparece en las conjeturas de las leyes universales es la constante conectiva , definida de la siguiente manera. Sea c n el número de paseos autoevitativos de n pasos. Dado que cada paseo autoevitativo de ( n + m ) pasos se puede descomponer en un paseo autoevitativo de n pasos y un paseo autoevitativo de m pasos, se deduce que c n + m ≤ c n c m . Por lo tanto, la secuencia {log c n } es subaditiva y podemos aplicar el lema de Fekete para demostrar que existe el siguiente límite:
μ se denomina constante conectiva , ya que c n depende de la red particular elegida para la caminata, al igual que μ . El valor exacto de μ solo se conoce para la red hexagonal, donde es igual a: [5]
Para otras redes, μ solo se ha aproximado numéricamente y se cree que ni siquiera es un número algebraico . Se conjetura que [6]
como n → ∞ , donde μ depende de la red, pero la corrección de la ley de potencia no; en otras palabras, se cree que esta ley es universal.
Los recorridos autoevitativos también se han estudiado en el contexto de la teoría de redes . [7] En este contexto, es habitual tratar el SAW como un proceso dinámico, de modo que en cada paso de tiempo un caminante salta aleatoriamente entre nodos vecinos de la red. El recorrido termina cuando el caminante llega a un estado sin salida, de modo que ya no puede avanzar hacia nuevos nodos no visitados. Recientemente se descubrió que en las redes Erdős–Rényi , la distribución de longitudes de recorrido de dichos SAW de crecimiento dinámico se puede calcular analíticamente y sigue la distribución de Gompertz . [8] Para redes arbitrarias, la distribución de longitudes de recorrido del recorrido, la distribución de grados de la red no visitada y la distribución del tiempo de primer impacto en un nodo se pueden obtener resolviendo un conjunto de ecuaciones de recurrencia acopladas. [9]
Consideremos la medida uniforme en los paseos autoevitativos de n pasos en el plano completo. Actualmente se desconoce si el límite de la medida uniforme cuando n → ∞ induce una medida en paseos infinitos en el plano completo. Sin embargo, Harry Kesten ha demostrado que existe una medida de este tipo para los paseos autoevitativos en el semiplano. Una cuestión importante que involucra a los paseos autoevitativos es la existencia y la invariancia conforme del límite de escala , es decir, el límite cuando la longitud del paseo tiende al infinito y la malla de la red tiende a cero. Se conjetura que el límite de escala del paseo autoevitativo se describe mediante la evolución de Schramm–Loewner con parámetro κ = 8/3 .
