En geometría , una transversal es una recta que pasa por dos rectas en el mismo plano en dos puntos distintos . Las transversales desempeñan un papel a la hora de establecer si dos o más líneas en el plano euclidiano son paralelas . Las intersecciones de una transversal con dos rectas crean varios tipos de pares de ángulos : ángulos interiores consecutivos , ángulos exteriores consecutivos , ángulos correspondientes y ángulos alternos . Como consecuencia del postulado de las paralelas de Euclides , si las dos rectas son paralelas, los ángulos interiores consecutivos son suplementarios , los ángulos correspondientes son iguales y los ángulos alternos son iguales.
Una transversal produce 8 ángulos, como se muestra en el gráfico de arriba a la izquierda:
Una transversal que corta dos rectas paralelas en ángulo recto se llama transversal perpendicular . En este caso, los 8 ángulos son rectos [1]
Cuando las rectas son paralelas , caso que se considera a menudo, una transversal produce varios ángulos suplementarios congruentes . Algunos de estos pares de ángulos tienen nombres específicos y se analizan a continuación: ángulos correspondientes, ángulos alternos y ángulos consecutivos. [2] [3] : Arte. 87
Los ángulos alternos son los cuatro pares de ángulos que:
Si los dos ángulos de un par son congruentes (iguales en medida), entonces los ángulos de cada uno de los otros pares también son congruentes.
La proposición 1.27 de los Elementos de Euclides , un teorema de la geometría absoluta (por lo tanto válido tanto en geometría hiperbólica como en geometría euclidiana ), demuestra que si los ángulos de un par de ángulos alternos de una transversal son congruentes, entonces las dos líneas son paralelas (no se cruzan).
Del postulado de las paralelas de Euclides se deduce que si las dos rectas son paralelas, entonces los ángulos de un par de ángulos alternos de una transversal son congruentes (Proposición 1.29 de los Elementos de Euclides ).
Los ángulos correspondientes son los cuatro pares de ángulos que:
Dos rectas son paralelas si y sólo si los dos ángulos de cualquier par de ángulos correspondientes de cualquier transversal son congruentes (iguales en medida).
La proposición 1.28 de los Elementos de Euclides , un teorema de la geometría absoluta (por lo tanto válido tanto en geometría hiperbólica como euclidiana ), demuestra que si los ángulos de un par de ángulos correspondientes de una transversal son congruentes, entonces las dos líneas son paralelas (no se cruzan).
Del postulado de las paralelas de Euclides se deduce que si las dos rectas son paralelas, entonces los ángulos de un par de ángulos correspondientes de una transversal son congruentes (Proposición 1.29 de los Elementos de Euclides ).
Si los ángulos de un par de ángulos correspondientes son congruentes, entonces los ángulos de cada uno de los otros pares también son congruentes. En las distintas imágenes con líneas paralelas de esta página, los pares de ángulos correspondientes son: α=α 1 , β=β 1 , γ=γ 1 y δ=δ 1 .
Los ángulos interiores consecutivos son los dos pares de ángulos que: [4] [2]
Dos rectas son paralelas si y sólo si los dos ángulos de cualquier par de ángulos interiores consecutivos de cualquier transversal son suplementarios (suma de 180°).
La proposición 1.28 de los Elementos de Euclides , un teorema de geometría absoluta (por lo tanto válido tanto en geometría hiperbólica como euclidiana ), demuestra que si los ángulos de un par de ángulos interiores consecutivos son suplementarios, entonces las dos líneas son paralelas (no se cruzan).
Del postulado de las paralelas de Euclides se deduce que si las dos rectas son paralelas, entonces los ángulos de un par de ángulos interiores consecutivos de una transversal son suplementarios (Proposición 1.29 de los Elementos de Euclides ).
Si un par de ángulos interiores consecutivos es suplementario, el otro par también lo es.
Si tres rectas en posición general forman un triángulo y luego son cortadas por una transversal, las longitudes de los seis segmentos resultantes satisfacen el teorema de Menelao .
La formulación de Euclides del postulado de las paralelas puede expresarse en términos de una transversal. Específicamente, si los ángulos interiores en el mismo lado de la transversal son menores que dos ángulos rectos, entonces las líneas deben cruzarse. De hecho, Euclides utiliza la misma frase en griego que suele traducirse como “transversal”. [5] : 308, nota 1
La Proposición 27 de Euclides establece que si una transversal corta dos rectas de modo que los ángulos alternos internos sean congruentes, entonces las rectas son paralelas. Euclides lo demuestra por contradicción : si las rectas no son paralelas entonces deben cruzarse y se forma un triángulo. Entonces uno de los ángulos alternos es un ángulo exterior igual al otro ángulo que es un ángulo interior opuesto en el triángulo. Esto contradice la Proposición 16 que establece que un ángulo exterior de un triángulo es siempre mayor que los ángulos interiores opuestos. [5] : 307 [3] : Arte. 88
La Proposición 28 de Euclides amplía este resultado de dos maneras. Primero, si una transversal corta dos rectas de modo que los ángulos correspondientes sean congruentes, entonces las rectas son paralelas. En segundo lugar, si una transversal corta dos rectas de modo que los ángulos interiores del mismo lado de la transversal sean suplementarios, entonces las rectas son paralelas. Éstas se derivan de la proposición anterior aplicando el hecho de que los ángulos opuestos de las rectas que se cortan son iguales (Prop. 15) y que los ángulos adyacentes en una recta son suplementarios (Prop. 13). Como señaló Proclus , Euclides da sólo tres de seis posibles criterios para líneas paralelas. [5] : 309–310 [3] : Arte. 89-90
La Proposición 29 de Euclides es inversa a las dos anteriores. Primero, si una transversal corta dos rectas paralelas, entonces los ángulos alternos internos son congruentes. Si no, entonces uno es mayor que el otro, lo que implica que su suplemento es menor que el suplemento del otro ángulo. Esto implica que hay ángulos interiores en el mismo lado de la transversal que son menores que dos ángulos rectos, contradiciendo el quinto postulado. La proposición continúa afirmando que en una transversal de dos rectas paralelas, los ángulos correspondientes son congruentes y los ángulos interiores del mismo lado son iguales a dos ángulos rectos. Estas declaraciones se derivan de la misma manera que la Proposición 28 se deriva de la Proposición 27. [5] : 311–312 [3] : Art. 93-95
La demostración de Euclides hace un uso esencial del quinto postulado; sin embargo, los tratamientos modernos de la geometría utilizan en su lugar el axioma de Playfair . Para probar la proposición 29 asumiendo el axioma de Playfair, corte una transversal dos rectas paralelas y suponga que los ángulos alternos internos no son iguales. Dibuja una tercera línea por el punto donde la transversal cruza la primera línea, pero con un ángulo igual al ángulo que forma la transversal con la segunda línea. Esto produce dos rectas diferentes que pasan por un punto, ambas paralelas a otra recta, contradiciendo el axioma. [5] : 313 [6]
En espacios de dimensiones superiores, una línea que cruza cada uno de un conjunto de líneas en puntos distintos es una transversal de ese conjunto de líneas. A diferencia del caso bidimensional (plano), no se garantiza que existan transversales para conjuntos de más de dos líneas.
En el espacio tridimensional euclidiano, un regulus es un conjunto de líneas oblicuas , R , tales que por cada punto de cada línea de R , pasa una transversal de R y por cada punto de una transversal de R pasa una línea de R. El conjunto de transversales de un regulus R también es un regulus, llamado regulus opuesto , R o . En este espacio siempre se pueden prolongar tres líneas oblicuas entre sí hasta formar un regulus.