La paradoja de la escalera (o paradoja del poste de granero ) es un experimento mental de la relatividad especial . Se trata de una escalera, paralela al suelo, que viaja horizontalmente a una velocidad relativista (cerca de la velocidad de la luz) y, por tanto, sufre una contracción de longitud de Lorentz . Se imagina que la escalera pasa a través de las puertas delanteras y traseras abiertas de un garaje o granero que es más corta que su longitud de descanso , por lo que si la escalera no se moviera no podría caber dentro. Para un observador estacionario, debido a la contracción, la escalera móvil puede caber completamente dentro del edificio a medida que pasa. Por otro lado, desde el punto de vista de un observador que se mueve con la escalera, ésta no se contraerá, y es el edificio el que Lorentz contraerá en una longitud aún menor. Por lo tanto, la escalera no podrá caber dentro del edificio cuando lo atraviese. Esto plantea una aparente discrepancia entre las realidades de ambos observadores.
Esta aparente paradoja resulta de la suposición errónea de una simultaneidad absoluta. Se dice que la escalera cabe en el garaje si ambos extremos pueden colocarse simultáneamente dentro del garaje. La paradoja se resuelve cuando se considera que en relatividad la simultaneidad es relativa a cada observador, por lo que la respuesta a si la escalera cabe dentro del garaje también es relativa a cada uno de ellos.
La versión más simple del problema implica un garaje, con una puerta delantera y trasera abiertas y una escalera que, cuando está en reposo con respecto al garaje, es demasiado larga para caber en su interior. Ahora movemos la escalera a alta velocidad horizontal a través del garaje estacionario. Debido a su alta velocidad, la escalera sufre el efecto relativista de contracción de longitud y se vuelve significativamente más corta. Como resultado, cuando la escalera pasa por el garaje, queda, durante un tiempo, completamente contenida dentro de él. Podríamos, si quisiéramos, cerrar simultáneamente ambas puertas durante un breve instante, para demostrar que la escalera encaja.
Hasta ahora, esto es consistente. La aparente paradoja surge cuando consideramos la simetría de la situación. Como un observador que se mueve con la escalera viaja a velocidad constante en el sistema de referencia inercial del garaje, este observador también ocupa un sistema inercial donde, según el principio de relatividad , se aplican las mismas leyes de la física. Desde esta perspectiva, es la escalera la que ahora está estacionaria y el garaje el que se mueve a gran velocidad. Por lo tanto, es el garaje el que se contrae en longitud, y ahora concluimos que es demasiado pequeño para haber podido contener completamente la escalera cuando pasó: la escalera no cabe y no podemos cerrar ambas puertas a ambos lados de la escalera. sin golpearlo. Esta aparente contradicción es la paradoja.
La solución a la aparente paradoja reside en la relatividad de la simultaneidad : lo que un observador (por ejemplo, en el garaje) considera dos acontecimientos simultáneos, en realidad puede no serlo para otro observador (por ejemplo, en la escalera). Cuando decimos que la escalera "cabe" dentro del garaje, lo que queremos decir precisamente es que, en un momento concreto, la posición de la parte trasera de la escalera y la posición de la parte delantera de la escalera estaban ambas dentro del garaje; en otras palabras, la parte delantera y trasera de la escalera estaban dentro del garaje simultáneamente. Como la simultaneidad es relativa, entonces, dos observadores no están de acuerdo sobre si la escalera encaja. Para el observador que estaba en el garaje, el extremo trasero de la escalera estaba en el garaje al mismo tiempo que el extremo delantero de la escalera, por lo que la escalera encajaba; pero para el observador de la escalera, estos dos acontecimientos no fueron simultáneos y la escalera no encajaba.
Una forma clara de ver esto es considerar las puertas que, en el marco del garaje, se cierran durante el breve período en que la escalera está completamente adentro. Ahora miramos estos eventos en el marco de la escalera. El primer evento es el frente de la escalera que se acerca a la puerta de salida del garaje. La puerta se cierra y luego se abre nuevamente para dejar pasar el frente de la escalera. Posteriormente, la parte trasera de la escalera pasa por la puerta de entrada, que se cierra y luego se abre. Vemos que, como la simultaneidad es relativa, no era necesario cerrar las dos puertas al mismo tiempo, y la escalera no necesitaba caber dentro del garaje.
La situación se puede ilustrar mejor con el siguiente diagrama de Minkowski . El esquema se encuentra en el marco de descanso del garaje. La banda vertical de color azul claro muestra el garaje en el espacio-tiempo y la banda de color rojo claro muestra la escalera en el espacio-tiempo. Los ejes x y t son el espacio del garaje y los ejes del tiempo, respectivamente, y x ′ y t ′ son los ejes del espacio y del tiempo de la escalera, respectivamente.
En el marco del garaje, la escalera en un momento concreto está representada por un conjunto de puntos horizontales, paralelos al eje x, en la banda roja. Un ejemplo es el segmento de línea azul en negrita, que se encuentra dentro de la banda azul que representa el garaje y que representa la escalera en un momento en que está completamente dentro del garaje. Sin embargo, en el marco de la escalera, conjuntos de eventos simultáneos se encuentran en líneas paralelas al eje x'; Por lo tanto, la escalera en cualquier momento específico está representada por una sección transversal de dicha línea con la banda roja. Un ejemplo de ello es el segmento de línea roja en negrita. Vemos que dichos segmentos de línea nunca se encuentran completamente dentro de la banda azul; es decir, la escalera nunca queda completamente dentro del garaje.
En una versión más complicada de la paradoja, podemos atrapar físicamente la escalera una vez que esté completamente dentro del garaje. Esto se podría hacer, por ejemplo, no volviendo a abrir la puerta de salida después de cerrarla. En el marco del garaje, asumimos que la puerta de salida es inamovible, por lo que cuando la escalera la golpea, decimos que se detiene instantáneamente. [1] [2] En ese momento, la puerta de entrada también se ha cerrado, por lo que la escalera está atrapada dentro del garaje. Como su velocidad relativa ahora es cero, no se contrae en longitud y ahora es más largo que el garaje; tendrá que doblarse, romperse o explotar.
Una vez más, el enigma surge al considerar la situación desde el marco de la escalera. En el análisis anterior, en su propio marco, la escalera siempre fue más larga que el garaje. Entonces, ¿cómo cerramos las puertas y lo atrapamos dentro?
Vale la pena señalar aquí una característica general de la relatividad: hemos deducido, considerando la estructura del garaje, que efectivamente atrapamos la escalera dentro del garaje. Por lo tanto, esto debe ser cierto en cualquier marco: no puede darse el caso de que la escalera encaje en un marco pero no en otro. Entonces, por el marco de la escalera, sabemos que debe haber alguna explicación de cómo la escalera quedó atrapada; simplemente debemos encontrar la explicación.
La explicación es que, aunque todas las partes de la escalera desaceleran simultáneamente hasta cero en el marco del garaje, debido a que la simultaneidad es relativa, las desaceleraciones correspondientes en el marco de la escalera no son simultáneas. En cambio, cada parte de la escalera desacelera secuencialmente, [1] [3] de adelante hacia atrás, hasta que finalmente la parte trasera de la escalera desacelera, momento en el cual ya está dentro del garaje.
Como la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo están controladas por las transformaciones de Lorentz , la paradoja de la escalera puede verse como un correlato físico de la paradoja de los gemelos , en cuyo caso uno de un conjunto de gemelos abandona la Tierra, viaja a gran velocidad durante un período y regresa. a la Tierra un poco más joven que el gemelo terrestre. Como en el caso de la escalera atrapada dentro del granero, si ninguno de los marcos de referencia es privilegiado (cada uno se mueve sólo en relación con el otro), ¿cómo puede ser que sea el gemelo viajero y no el estacionario el más joven (al igual que el la escalera en lugar del granero, que es más corto)? En ambos casos es la aceleración-desaceleración la que diferencia los fenómenos: es el gemelo, no la tierra (o la escalera, no el granero) el que sufre la fuerza de la desaceleración al regresar a lo temporal (o físico, en el caso del escalera-granero) marco inercial.
¿Qué pasa si la puerta trasera (la puerta por la que sale la escalera) está cerrada permanentemente y no se abre? Supongamos que la puerta es tan sólida que la escalera no la atravesará cuando choque, por lo que debe detenerse. Luego, como en el escenario descrito anteriormente, en el marco de referencia del garaje, hay un momento en el que la escalera está completamente dentro del garaje (es decir, la parte trasera de la escalera está dentro de la puerta principal), antes de chocar con el puerta trasera y se detiene. Sin embargo, desde el marco de referencia de la escalera, la escalera es demasiado grande para caber en el garaje, por lo que cuando choca con la puerta trasera y se detiene, la parte trasera de la escalera aún no ha llegado a la puerta principal. Esto parece una paradoja. La pregunta es: ¿la parte trasera de la escalera cruza la puerta de entrada o no?
La dificultad surge principalmente del supuesto de que la escalera es rígida (es decir, mantiene la misma forma). Las escaleras parecen rígidas en la vida cotidiana. Pero ser completamente rígida requiere que pueda transferir fuerza a una velocidad infinita (es decir, cuando empujas un extremo, el otro extremo debe reaccionar inmediatamente, de lo contrario la escalera se deformará). Esto contradice la relatividad especial, que afirma que la información no puede viajar más rápido que la velocidad de la luz (que es demasiado rápida para que podamos notarla en la vida real, pero es significativa en el escenario de la escalera). Por tanto, los objetos no pueden ser perfectamente rígidos bajo la relatividad especial.
En este caso, cuando la parte delantera de la escalera choca con la puerta trasera, la parte trasera de la escalera aún no lo sabe, por lo que sigue avanzando (y la escalera se "comprime"). Tanto en el marco del garaje como en el marco inercial de la escalera, la parte trasera sigue moviéndose en el momento de la colisión, al menos hasta el punto donde la parte trasera de la escalera entra en el cono de luz de la colisión (es decir, un punto donde la fuerza que se mueve hacia atrás a la velocidad de la luz desde el punto de colisión lo alcanzará). En este punto, la escalera es en realidad más corta que la longitud contratada originalmente, por lo que el extremo trasero está dentro del garaje. Los cálculos en ambos marcos de referencia mostrarán que este es el caso.
No se especifica qué sucede después de que la fuerza llega a la parte posterior de la escalera (la zona "verde" en el diagrama). Dependiendo de la física, la escalera podría romperse; o, si fuera lo suficientemente elástico, podría doblarse y volver a expandirse hasta su longitud original. A velocidades suficientemente altas, cualquier material realista explotaría violentamente formando plasma.
Esta primera versión de la paradoja fue propuesta y resuelta originalmente por Wolfgang Rindler [1] e involucraba a un hombre que caminaba rápidamente, representado por una vara, que caía en una rejilla. [4] Se supone que la varilla está completamente sobre la rejilla en el marco de referencia de la rejilla antes de que comience la aceleración hacia abajo aplicada simultáneamente y por igual a cada punto de la varilla.
Desde la perspectiva de la rejilla, la varilla sufre una contracción longitudinal y encaja en la rejilla. Sin embargo, desde la perspectiva de la varilla, es la rejilla la que sufre una contracción longitudinal, a través de la cual parece que la varilla es demasiado larga para caer.
La aceleración hacia abajo de la varilla, que es simultánea en el marco de referencia de la rejilla, no es simultánea en el marco de referencia de la varilla. En el marco de referencia de la varilla, la parte frontal de la varilla primero se acelera hacia abajo (como se muestra en la celda 3 del dibujo), y a medida que pasa el tiempo, más y más parte de la varilla se somete a la aceleración hacia abajo, hasta que finalmente la parte posterior de la varilla se acelera hacia abajo (como se muestra en la celda 3 del dibujo). la varilla se acelera hacia abajo. Esto da como resultado una flexión de la varilla en el marco de referencia de la varilla. Dado que esta flexión se produce en el marco de apoyo de la varilla, es una verdadera distorsión física de la varilla la que provocará que se produzcan tensiones en la varilla.
Para que se pueda apreciar este comportamiento no rígido de la varilla, tanto la propia varilla como la rejilla deben tener una escala tal que el tiempo de recorrido sea mensurable.
Un problema muy similar pero más simple que la paradoja de la varilla y la rejilla, que involucra sólo marcos inerciales, es la paradoja de la "barra y el anillo" (Ferraro 2007). La paradoja de la varilla y la rejilla es complicada: implica marcos de referencia no inerciales, ya que en un momento el hombre camina horizontalmente y un momento después cae hacia abajo; e implica una deformación física del hombre (o varilla segmentada), ya que la varilla está doblada en un marco de referencia y recta en otro. Estos aspectos del problema introducen complicaciones relacionadas con la rigidez de la varilla que tiende a oscurecer la verdadera naturaleza de la "paradoja". La paradoja de la "barra y el anillo" está libre de estas complicaciones: una barra, que tiene una longitud ligeramente mayor que el diámetro de un anillo, se mueve hacia arriba y hacia la derecha con su eje mayor horizontal, mientras que el anillo está estacionario y el plano del anillo también es horizontal. Si el movimiento de la barra es tal que el centro de la barra coincide con el centro del anillo en algún momento, entonces la barra tendrá una contracción de Lorentz debido a la componente directa de su movimiento y pasará a través del anillo. La paradoja ocurre cuando el problema se considera en el marco de reposo de la barra. El anillo ahora se mueve hacia abajo y hacia la izquierda, y se contraerá en sentido Lorentz a lo largo de su longitud horizontal, mientras que la barra no se contraerá en absoluto. ¿Cómo puede pasar la barra por el anillo?
La resolución de la paradoja nuevamente radica en la relatividad de la simultaneidad (Ferraro 2007). La longitud de un objeto físico se define como la distancia entre dos eventos simultáneos que ocurren en cada extremo del cuerpo, y dado que la simultaneidad es relativa, esta longitud también lo es. Esta variabilidad de longitud es simplemente la contracción de Lorentz. De manera similar, un ángulo físico se define como el ángulo formado por tres eventos simultáneos , y este ángulo también será una cantidad relativa. En la paradoja anterior, aunque la varilla y el plano del anillo son paralelos en el marco de reposo del anillo, no lo son en el marco de reposo de la varilla. La varilla no contraída pasa a través del anillo contraído por Lorentz porque el plano del anillo gira con respecto a la varilla una cantidad suficiente para dejar pasar la varilla.
En términos matemáticos, una transformación de Lorentz se puede separar en el producto de una rotación espacial y una transformación de Lorentz "adecuada" que no implica rotación espacial. La resolución matemática de la paradoja de la barra y el anillo se basa en el hecho de que el producto de dos transformaciones de Lorentz adecuadas (horizontal y vertical) puede producir una transformación de Lorentz que no es propia (diagonal) sino que incluye un componente de rotación espacial.
