Paradoja de Milner-Rado

En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas, la paradoja de Milner-Rado , encontrada por Eric Charles Milner y Richard Rado  (1965), establece que todo número ordinal menor que el sucesor de algún número cardinal puede escribirse como la unión de conjuntos donde es de tipo de orden como máximo κ ⁿ para n un entero positivo. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \kappa ^{+}}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},...}$ ${\displaystyle X_{n}}$

Prueba

La prueba se realiza por inducción transfinita. Sea un ordinal límite (la inducción es trivial para ordinales sucesores) y para cada , sea una partición de que satisface los requisitos del teorema. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta <\alpha }$ ${\displaystyle \{X_{n}^{\beta }\}_{n}}$ ${\displaystyle \beta }$

Fijar una secuencia creciente cofinal en con . ${\displaystyle \{\beta _{\gamma }\}_{\gamma <\mathrm {cf} \,(\alpha )}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta _{0}=0}$

Nota . ${\displaystyle \mathrm {cf} \,(\alpha )\leq \kappa }$

Definir:

${\displaystyle X_{0}^{\alpha }=\{0\};\ \ X_{n+1}^{\alpha }=\bigcup _{\gamma }X_{n}^{\beta _{\gamma +1}}\setminus \beta _{\gamma }}$

Observe que:

${\displaystyle \bigcup _{n>0}X_{n}^{\alpha }=\bigcup _{n}\bigcup _{\gamma }X_{n}^{\beta _{\gamma +1}}\setminus \beta _{\gamma }=\bigcup _{\gamma }\bigcup _{n}X_{n}^{\beta _{\gamma +1}}\setminus \beta _{\gamma }=\bigcup _{\gamma }\beta _{\gamma +1}\setminus \beta _{\gamma }=\alpha \setminus \beta _{0}}$

y entonces . ${\displaystyle \bigcup _{n}X_{n}^{\alpha }=\alpha }$

Sea el tipo de orden de . En cuanto a los tipos de orden, claramente . ${\displaystyle \mathrm {ot} \,(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {ot} (X_{0}^{\alpha })=1=\kappa ^{0}}$

Observando que los conjuntos forman una secuencia consecutiva de intervalos ordinales, y que cada uno es un segmento de cola de , entonces: ${\displaystyle \beta _{\gamma +1}\setminus \beta _{\gamma }}$ ${\displaystyle X_{n}^{\beta _{\gamma +1}}\setminus \beta _{\gamma }}$ ${\displaystyle X_{n}^{\beta _{\gamma +1}}}$

${\displaystyle \mathrm {ot} (X_{n+1}^{\alpha })=\sum _{\gamma }\mathrm {ot} (X_{n}^{\beta _{\gamma +1}}\setminus \beta _{\gamma })\leq \sum _{\gamma }\kappa ^{n}=\kappa ^{n}\cdot \mathrm {cf} (\alpha )\leq \kappa ^{n}\cdot \kappa =\kappa ^{n+1}}$

Referencias

• Milner, EC; Rado, R. (1965), "El principio del palomar para los números ordinales", Actas de la London Mathematical Society , Serie 3, 15 : 750–768, doi :10.1112/plms/s3-15.1.750, MR  0190003
• ¿Cómo demostrar la paradoja de Milner-Rado? - Stack Exchange de matemáticas