En geometría diferencial y el estudio de los grupos de Lie , una geometría parabólica es un espacio homogéneo G / P que es el cociente de un grupo de Lie semisimple G por un subgrupo parabólico P. De manera más general, los análogos curvos de una geometría parabólica en este sentido también se denominan geometría parabólica: cualquier geometría que se modela en tal espacio por medio de una conexión de Cartan .
El espacio proyectivo P n es un ejemplo. Es el espacio homogéneo PGL( n +1)/ H donde H es el grupo de isotropía de una línea. En este espacio geométrico, la noción de línea recta tiene sentido, pero no hay ningún parámetro preferido ("afín") a lo largo de las líneas. El análogo curvo del espacio proyectivo es una variedad en la que la noción de geodésica tiene sentido, pero para la que no hay parametrizaciones preferidas en esas geodésicas. Una conexión proyectiva es la conexión de Cartan relevante que proporciona un medio para describir una geometría proyectiva pegando copias del espacio proyectivo a los espacios tangentes de la variedad base. En términos generales, la geometría proyectiva se refiere al estudio de variedades con este tipo de conexión.
Otro ejemplo es la esfera conforme . Topológicamente, es la n -esfera, pero no hay noción de longitud definida en ella, solo de ángulo entre curvas. De manera equivalente, esta geometría se describe como una clase de equivalencia de métricas de Riemann en la esfera (llamada clase conforme). El grupo de transformaciones que preservan los ángulos en la esfera es el grupo de Lorentz O( n +1,1), y por lo tanto S n = O( n +1,1)/ P . La geometría conforme es, de manera más amplia, el estudio de variedades con una clase de equivalencia conforme de métricas de Riemann, es decir, variedades modeladas en la esfera conforme. Aquí la conexión de Cartan asociada es la conexión conforme .
Otros ejemplos incluyen:
