Modelo paramétrico

Tipo de modelo estadístico

En estadística , un modelo paramétrico o una familia paramétrica o un modelo de dimensión finita es una clase particular de modelos estadísticos . En concreto, un modelo paramétrico es una familia de distribuciones de probabilidad que tiene un número finito de parámetros.

Definición

Un modelo estadístico es una colección de distribuciones de probabilidad en un espacio muestral determinado . Suponemos que la colección, 𝒫 , está indexada por un conjunto Θ . El conjunto Θ se denomina conjunto de parámetros o, más comúnmente, espacio de parámetros . Para cada θ  ∈ Θ , sea F _θ el miembro correspondiente de la colección; por lo tanto, F _θ es una función de distribución acumulativa . Entonces, un modelo estadístico se puede escribir como

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\big \{}F_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.}$

El modelo es un modelo paramétrico si Θ ⊆ ℝ ^k para algún entero positivo k .

Cuando el modelo consta de distribuciones absolutamente continuas, a menudo se especifica en términos de funciones de densidad de probabilidad correspondientes :

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\big \{}f_{\theta }\ {\big |}\ \theta \in \Theta {\big \}}.}$

Ejemplos

• La familia de distribuciones de Poisson está parametrizada por un único número λ > 0 :

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\lambda }(j)={\tfrac {\lambda ^{j}}{j!}}e^{-\lambda },\ j=0,1,2,3,\dots \ {\Big |}\;\;\lambda >0\ {\Big \}},}$

donde p _λ es la función de masa de probabilidad . Esta familia es una familia exponencial .

• La familia normal está parametrizada por θ = ( μ , σ ) , donde μ ∈ ℝ es un parámetro de ubicación y σ > 0 es un parámetro de escala:

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\tfrac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\ {\Big |}\;\;\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\ {\Big \}}.}$

Esta familia parametrizada es a la vez una familia exponencial y una familia de escala de ubicación .

• El modelo de traducción de Weibull tiene un parámetro tridimensional θ = ( λ , β , μ ) :

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ f_{\theta }(x)={\tfrac {\beta }{\lambda }}\left({\tfrac {x-\mu }{\lambda }}\right)^{\beta -1}\!\exp \!{\big (}\!-\!{\big (}{\tfrac {x-\mu }{\lambda }}{\big )}^{\beta }{\big )}\,\mathbf {1} _{\{x>\mu \}}\ {\Big |}\;\;\lambda >0,\,\beta >0,\,\mu \in \mathbb {R} \ {\Big \}}.}$

• El modelo binomial está parametrizado por θ = ( n , p ) , donde n es un entero no negativo y p es una probabilidad (es decir, p ≥ 0 y p ≤ 1 ):

${\displaystyle {\mathcal {P}}={\Big \{}\ p_{\theta }(k)={\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}\,p^{k}(1-p)^{n-k},\ k=0,1,2,\dots ,n\ {\Big |}\;\;n\in \mathbb {Z} _{\geq 0},\,p\geq 0\land p\leq 1{\Big \}}.}$

Este ejemplo ilustra la definición de un modelo con algunos parámetros discretos.

Observaciones generales

Un modelo paramétrico se denomina identificable si la función θ ↦ P _θ es invertible, es decir, no hay dos valores de parámetros diferentes θ ₁ y θ ₂ tales que P _{θ 1}  = P _{θ 2} .

Comparaciones con otras clases de modelos

Los modelos paramétricos se contrastan con los modelos semiparamétricos , semino paramétricos y no paramétricos , todos los cuales consisten en un conjunto infinito de "parámetros" para la descripción. La distinción entre estas cuatro clases es la siguiente: ^{[ cita requerida ]}

• En un modelo " paramétrico ", todos los parámetros están en espacios de parámetros de dimensión finita;
• un modelo es " no paramétrico " si todos los parámetros están en espacios de parámetros de dimensión infinita;
• un modelo " semiparamétrico " contiene parámetros de interés de dimensión finita y parámetros de molestia de dimensión infinita ;
• Un modelo " semi-no paramétrico " tiene parámetros de interés desconocidos tanto de dimensión finita como de dimensión infinita.

Algunos estadísticos creen que los conceptos "paramétrico", "no paramétrico" y "semiparamétrico" son ambiguos. ^[1] También se puede observar que el conjunto de todas las medidas de probabilidad tiene cardinalidad de continuo y, por lo tanto, es posible parametrizar cualquier modelo mediante un solo número en el intervalo (0,1). ^[2] Esta dificultad se puede evitar considerando solo modelos paramétricos "suaves".

Véase también

• Familia paramétrica
• Estadísticas paramétricas
• Modelo estadístico
• Especificación del modelo estadístico

Notas

1. Le Cam y Yang 2000, §7.4
2. Bickel y otros, 1998, pág. 2

Bibliografía

• Bickel, Peter J. ; Doksum, Kjell A. (2001), Estadística matemática: temas básicos y seleccionados , vol. 1 (segunda edición (actualizada en 2007)), Prentice-Hall
• Bickel, Peter J .; Klaassen, Chris AJ; Ritov, Ya'acov; Wellner, Jon A. (1998), Estimación eficiente y adaptativa para modelos semiparamétricos , Springer
• Davison, AC (2003), Modelos estadísticos , Cambridge University Press
• Le Cam, Lucien ; Yang, Grace Lo (2000), Asintótica en estadística: algunos conceptos básicos (2.ª ed.), Springer
• Lehmann, Erich L. ; Casella, George (1998), Teoría de la estimación puntual (2.ª ed.), Springer
• Liese, Friedrich; Miescke, Klaus-J. (2008), Teoría de la decisión estadística: estimación, prueba y selección , Springer
• Pfanzagl, Johann; con la ayuda de R. Hamböker (1994), Teoría estadística paramétrica , Walter de Gruyter , MR  1291393