Red de dos puertos

Circuito eléctrico con dos pares de terminales.

Figura 1: Ejemplo de red de dos puertos con definiciones de símbolos. Observe que se cumple la condición del puerto : la misma corriente fluye hacia cada puerto que sale de ese puerto.

En electrónica , una red de dos puertos (una especie de red de cuatro terminales o cuadripolo ) es una red eléctrica (es decir, un circuito) o dispositivo con dos pares de terminales para conectarse a circuitos externos. Dos terminales constituyen un puerto si las corrientes que se les aplican satisfacen el requisito esencial conocido como condición de puerto: la corriente que ingresa a una terminal debe ser igual a la corriente que sale de la otra terminal en el mismo puerto. ^{[1] [2]} Los puertos constituyen las interfaces donde la red se conecta con otras redes, los puntos donde se aplican las señales o se toman las salidas. En una red de dos puertos, a menudo el puerto 1 se considera el puerto de entrada y el puerto 2 se considera el puerto de salida.

Se utiliza comúnmente en el análisis de circuitos matemáticos .

Solicitud

El modelo de red de dos puertos se utiliza en técnicas de análisis de circuitos matemáticos para aislar partes de circuitos más grandes. Una red de dos puertos se considera una " caja negra " con sus propiedades especificadas por una matriz de números. Esto permite calcular fácilmente la respuesta de la red a las señales aplicadas a los puertos, sin tener que resolver todos los voltajes y corrientes internos de la red. También permite comparar fácilmente circuitos o dispositivos similares. Por ejemplo, los transistores a menudo se consideran de dos puertos, caracterizados por sus parámetros h (ver más abajo) que enumera el fabricante. Cualquier circuito lineal con cuatro terminales puede considerarse una red de dos puertos siempre que no contenga una fuente independiente y satisfaga las condiciones del puerto.

Ejemplos de circuitos analizados como de dos puertos son filtros , redes de adaptación , líneas de transmisión , transformadores y modelos de pequeña señal para transistores (como el modelo híbrido-pi ). El análisis de las redes pasivas de dos puertos es una consecuencia de los teoremas de reciprocidad derivados por primera vez por Lorentz. ^[3]

En los modelos matemáticos de dos puertos, la red se describe mediante una matriz cuadrada de números complejos de 2 por 2 . Los modelos comunes que se utilizan se denominan parámetros z , parámetros y , parámetros h , parámetros g y parámetros ABCD , cada uno de los cuales se describe individualmente a continuación . Todos estos se limitan a redes lineales, ya que una suposición subyacente de su derivación es que cualquier condición de circuito dada es una superposición lineal de varias condiciones de cortocircuito y circuito abierto. Suelen expresarse en notación matricial y establecen relaciones entre las variables.

V ₁ , voltaje en el puerto 1

I ₁ , corriente en el puerto 1

V ₂ , voltaje a través del puerto 2

I ₂ , corriente en el puerto 2

que se muestran en la figura 1. La diferencia entre los distintos modelos radica en cuáles de estas variables se consideran variables independientes . Estas variables de corriente y voltaje son más útiles en frecuencias bajas a moderadas. En frecuencias altas (por ejemplo, frecuencias de microondas), el uso de variables de potencia y energía es más apropiado, y el enfoque de corriente-voltaje de dos puertos se reemplaza por un enfoque basado en parámetros de dispersión .

Propiedades generales

Hay ciertas propiedades de los dos puertos que ocurren con frecuencia en las redes prácticas y pueden usarse para simplificar enormemente el análisis. Éstas incluyen:

Redes recíprocas

Se dice que una red es recíproca si el voltaje que aparece en el puerto 2 debido a una corriente aplicada en el puerto 1 es el mismo que el voltaje que aparece en el puerto 1 cuando se aplica la misma corriente al puerto 2. El intercambio de voltaje y corriente da como resultado una red equivalente. definición de reciprocidad. Una red que consta enteramente de componentes pasivos lineales (es decir, resistencias, condensadores e inductores) suele ser recíproca, siendo una excepción notable los circuladores y aisladores pasivos que contienen materiales magnetizados. En general, no será recíproco si contiene componentes activos como generadores o transistores. ^[4]

Redes simétricas

Una red es simétrica si su impedancia de entrada es igual a su impedancia de salida. La mayoría de las veces, aunque no necesariamente, las redes simétricas también son físicamente simétricas. A veces también son de interés las redes antimétricas . Estas son redes donde las impedancias de entrada y salida son duales entre sí. ^[5]

Red sin pérdidas

Una red sin pérdidas es aquella que no contiene resistencias u otros elementos disipadores. ^[6]

Parámetros de impedancia ( parámetros z )

Figura 2: Dos puertos equivalentes a z que muestran las variables independientes I ₁ e I ₂ . Aunque se muestran resistencias, en su lugar se pueden utilizar impedancias generales.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{11}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{1}}{I_{1}}}\right|_{I_{2}=0}&z_{12}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{1}}{I_{2}}}\right|_{I_{1}=0}\\z_{21}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{2}}{I_{1}}}\right|_{I_{2}=0}&z_{22}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{2}}{I_{2}}}\right|_{I_{1}=0}\end{aligned}}}$

Todos los parámetros z tienen dimensiones en ohmios .

Para redes recíprocas z ₁₂ = z ₂₁ . Para redes simétricas z ₁₁ = z ₂₂ . Para redes recíprocas sin pérdidas, todos los z _mn son puramente imaginarios. ^[7]

Ejemplo: espejo de corriente bipolar con degeneración del emisor

Figura 3: Espejo de corriente bipolar : i ₁ es la corriente de referencia y i ₂ es la corriente de salida ; Los símbolos en minúsculas indican que se trata de corrientes totales que incluyen los componentes de CC.

Figura 4: Espejo de corriente bipolar de señal pequeña: I ₁ es la amplitud de la corriente de referencia de señal pequeña y I ₂ es la amplitud de la corriente de salida de señal pequeña

La Figura 3 muestra un espejo de corriente bipolar con resistencias de emisor para aumentar su resistencia de salida. ^{[nb 1]} El transistor Q ₁ está conectado con un diodo , es decir, su voltaje colector-base es cero. La Figura 4 muestra el circuito de pequeña señal equivalente a la Figura 3. El transistor Q ₁ está representado por su resistencia del emisor r _E :

${\displaystyle r_{\mathrm {E} }\approx {\frac {{\text{thermal voltage, }}V_{\mathrm {T} }}{{\text{emitter current, }}I_{E}}},}$

una simplificación posible porque la fuente de corriente dependiente en el modelo híbrido-pi para Q ₁ consume la misma corriente que una resistencia 1 / g _m conectada a través de r _π . El segundo transistor Q ₂ está representado por su modelo híbrido-pi . La Tabla 1 a continuación muestra las expresiones del parámetro z que hacen que el circuito equivalente z de la Figura 2 sea eléctricamente equivalente al circuito de pequeña señal de la Figura 4.

La retroalimentación negativa introducida por las resistencias R _E se puede ver en estos parámetros. Por ejemplo, cuando se usa como carga activa en un amplificador diferencial, I ₁ ≈ − I ₂ , lo que hace que la impedancia de salida del espejo sea aproximadamente

${\displaystyle R_{22}-R_{21}\approx {\frac {2\beta r_{\mathrm {O} }R_{\mathrm {E} }}{r_{\pi }+2R_{\mathrm {E} }}}}$

en comparación con solo r _O sin retroalimentación (es decir, con R _E = 0  Ω). Al mismo tiempo, la impedancia en el lado de referencia del espejo es aproximadamente

${\displaystyle R_{11}-R_{12}\approx {\frac {r_{\pi }}{r_{\pi }+2R_{\mathrm {E} }}}(r_{\mathrm {E} }+R_{\mathrm {E} }),}$

sólo un valor moderado, pero aún mayor que r _E sin retroalimentación. En la aplicación del amplificador diferencial, una resistencia de salida grande aumenta la ganancia en modo diferencial, algo bueno, y es deseable una resistencia de entrada de espejo pequeña para evitar el efecto Miller .

Parámetros de admitancia ( parámetros y )

Figura 5: Dos puertos equivalentes a Y que muestran las variables independientes V ₁ y V ₂ . Aunque se muestran resistencias, en su lugar se pueden utilizar admitancias generales.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{11}&y_{12}\\y_{21}&y_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{11}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{1}}{V_{1}}}\right|_{V_{2}=0}&y_{12}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{1}}{V_{2}}}\right|_{V_{1}=0}\\y_{21}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{2}}{V_{1}}}\right|_{V_{2}=0}&y_{22}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{2}}{V_{2}}}\right|_{V_{1}=0}\end{aligned}}}$

Todos los parámetros Y tienen dimensiones de Siemens .

Para redes recíprocas y ₁₂ = y ₂₁ . Para redes simétricas y ₁₁ = y ₂₂ . Para redes recíprocas sin pérdidas, todos los y _mn son puramente imaginarios. ^[7]

Parámetros híbridos ( h -parámetros)

Figura 6: Dos puertos equivalentes a H que muestran las variables independientes I ₁ y V ₂ ; h ₂₂ se intercambia para hacer una resistencia

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{11}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{1}}{I_{1}}}\right|_{V_{2}=0}&h_{12}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right|_{I_{1}=0}\\h_{21}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right|_{V_{2}=0}&h_{22}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{2}}{V_{2}}}\right|_{I_{1}=0}\end{aligned}}}$

Este circuito se selecciona a menudo cuando se desea un amplificador de corriente en la salida. Las resistencias que se muestran en el diagrama pueden ser impedancias generales.

Los parámetros h fuera de la diagonal no tienen dimensiones , mientras que los miembros diagonales tienen dimensiones recíprocas entre sí.

Para redes recíprocas h ₁₂ = – h ₂₁ . Para redes simétricas h ₁₁ h ₂₂ – h ₁₂ h ₂₁ = 1 . Para redes recíprocas sin pérdidas, h ₁₂ y h ₂₁ son reales, mientras que h ₁₁ y h ₂₂ son puramente imaginarios.

Ejemplo: amplificador de base común

Figura 7: Amplificador de base común con fuente de corriente CA I ₁ como entrada de señal y tensión de soporte de carga no especificada V ₂ y una corriente dependiente I ₂ .

Nota: Las fórmulas tabuladas en la Tabla 2 hacen que el circuito equivalente h del transistor de la Figura 6 concuerde con su modelo híbrido pi de baja frecuencia y señal pequeña en la Figura 7. Notación: r _π es la resistencia de base del transistor, r _O es la salida resistencia, y g _m es transconductancia mutua. El signo negativo para h ₂₁ refleja la convención de que I ₁ , I ₂ son positivos cuando se dirigen hacia los dos puertos. Un valor distinto de cero para h ₁₂ significa que el voltaje de salida afecta el voltaje de entrada, es decir, este amplificador es bilateral . Si h ₁₂ = 0 , el amplificador es unilateral .

Historia

Los parámetros h se denominaron inicialmente parámetros en serie-paralelo . El término híbrido para describir estos parámetros fue acuñado por DA Alsberg en 1953 en "Transistor metrology". ^[8] En 1954, un comité conjunto de la IRE y la AIEE adoptó el término h - parámetros y recomendó que se convirtieran en el método estándar para probar y caracterizar transistores porque eran "particularmente adaptables a las características físicas de los transistores". ^[9] En 1956, la recomendación se convirtió en una norma emitida; 56 IRE 28.S2. Tras la fusión de estas dos organizaciones como IEEE , el estándar se convirtió en Std 218-1956 y fue reafirmado en 1980, pero ahora ha sido retirado. ^[10]

Parámetros híbridos inversos (parámetros g)

Figura 8: Dos puertos equivalentes a G que muestran las variables _{independientes} V1 e _I2 ; g ₁₁ se alterna para formar una resistencia

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{11}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{1}}{V_{1}}}\right|_{I_{2}=0}&g_{12}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{1}}{I_{2}}}\right|_{V_{1}=0}\\g_{21}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right|_{I_{2}=0}&g_{22}&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{2}}{I_{2}}}\right|_{V_{1}=0}\end{aligned}}}$

A menudo, este circuito se selecciona cuando se desea un amplificador de voltaje en la salida. Los parámetros g fuera de la diagonal no tienen dimensiones, mientras que los miembros diagonales tienen dimensiones recíprocas entre sí. Las resistencias que se muestran en el diagrama pueden ser impedancias generales.

Ejemplo: amplificador de base común

Figura 9: Amplificador de base común con fuente de voltaje CA V ₁ como entrada de señal y carga no especificada que entrega corriente I ₂ a un voltaje dependiente V ₂ .

Nota: Las fórmulas tabuladas en la Tabla 3 hacen que el circuito equivalente a g del transistor de la Figura 8 concuerde con su modelo híbrido pi de baja frecuencia y señal pequeña en la Figura 9. Notación: r _π es la resistencia de base del transistor, r _O es la salida resistencia, y g _m es transconductancia mutua. El signo negativo para g ₁₂ refleja la convención de que I ₁ , I ₂ son positivos cuando se dirigen hacia los dos puertos. Un valor distinto de cero para g ₁₂ significa que la corriente de salida afecta la corriente de entrada, es decir, este amplificador es bilateral . Si g ₁₂ = 0 , el amplificador es unilateral .

ABCD -parámetros

Los parámetros ABCD se conocen como parámetros de cadena, de cascada o de transmisión. Hay varias definiciones dadas para los parámetros ABCD , la más común es ^{[11] [12]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{2}\\-I_{2}\end{bmatrix}}}$

Nota: Algunos autores optaron por invertir la dirección indicada de I ₂ y suprimir el signo negativo en I ₂ .

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}A&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right|_{I_{2}=0}&B&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.-{\frac {V_{1}}{I_{2}}}\right|_{V_{2}=0}\\C&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {I_{1}}{V_{2}}}\right|_{I_{2}=0}&D&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.-{\frac {I_{1}}{I_{2}}}\right|_{V_{2}=0}\end{aligned}}}$

Para redes recíprocas AD – BC = 1 . Para redes simétricas A = D . Para redes recíprocas y sin pérdidas, A y D son puramente reales, mientras que B y C son puramente imaginarias. ^[6]

Se prefiere esta representación porque cuando los parámetros se utilizan para representar una cascada de dos puertos, las matrices se escriben en el mismo orden en que se dibujaría un diagrama de red, es decir, de izquierda a derecha. Sin embargo, también se utiliza una definición variante, ^[13]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{2}\\-I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A'&B'\\C'&D'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{1}\end{bmatrix}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}A'&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right|_{I_{1}=0}&B'&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.{\frac {V_{2}}{I_{1}}}\right|_{V_{1}=0}\\C'&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.-{\frac {I_{2}}{V_{1}}}\right|_{I_{1}=0}&D'&\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \left.-{\frac {I_{2}}{I_{1}}}\right|_{V_{1}=0}\end{aligned}}}$

El signo negativo de – I ₂ surge para hacer que la corriente de salida de una etapa en cascada (como aparece en la matriz) sea igual a la corriente de entrada de la siguiente. Sin el signo menos, las dos corrientes tendrían sentidos opuestos porque, por convención, la dirección positiva de la corriente se toma como la corriente que ingresa al puerto. En consecuencia, el vector matricial de voltaje/corriente de entrada se puede reemplazar directamente con la ecuación matricial de la etapa en cascada anterior para formar una matriz combinada A'B'C'D' .

Aquí se utiliza la terminología de representar los parámetros ABCD como una matriz de elementos designados como ₁₁ , etc., adoptada por algunos autores ^[14] y los parámetros inversos A'B'C'D' como una matriz de elementos designados como b ₁₁ , etc. tanto por brevedad como para evitar confusión con los elementos del circuito.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\mathbf {a} \right]&={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}\\\left[\mathbf {b} \right]&={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A'&B'\\C'&D'\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Tabla de parámetros de transmisión.

La siguiente tabla enumera los parámetros ABCD y ABCD inverso para algunos elementos de red simples.

Parámetros de dispersión (parámetros S)

Fig. 17. Terminología de ondas utilizadas en la definición del parámetro S.

Todos los parámetros anteriores están definidos en términos de tensiones y corrientes en los puertos. Los parámetros S son diferentes y se definen en términos de olas incidentes y reflejadas en los puertos. Los parámetros S se utilizan principalmente en frecuencias UHF y microondas, donde resulta difícil medir voltajes y corrientes directamente. Por otro lado, la potencia incidente y reflejada es fácil de medir mediante acopladores direccionales . La definición es, ^[16]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{bmatrix}}}$

donde a k _son las ondas incidentes y b _k son las ondas reflejadas en el puerto k . Es convencional definir a _k y b _k en términos de la raíz cuadrada de la potencia. En consecuencia, existe una relación con los voltajes de las ondas (consulte el artículo principal para obtener más detalles). ^[17]

Para redes recíprocas S ₁₂ = S ₂₁ . Para redes simétricas S ₁₁ = S ₂₂ . Para redes antimétricas S ₁₁ = – S ₂₂ . ^[18] Para redes recíprocas sin pérdidas y ^[19] ${\displaystyle |S_{11}|=|S_{22}|}$ ${\displaystyle |S_{11}|^{2}+|S_{12}|^{2}=1.}$

Parámetros de transferencia de dispersión ( T -parámetros)

Los parámetros de transferencia de dispersión, al igual que los parámetros de dispersión, se definen en términos de ondas incidentes y reflejadas. La diferencia es que los parámetros T relacionan las olas en el puerto 1 con las olas en el puerto 2, mientras que los parámetros S relacionan las olas reflejadas con las olas incidentes. A este respecto, los parámetros T cumplen la misma función que los parámetros ABCD y permiten calcular los parámetros T de redes en cascada mediante la multiplicación de matrices de las redes componentes. Los parámetros T , al igual que los parámetros ABCD , también pueden denominarse parámetros de transmisión. La definición es, ^{[16] [20]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{2}\\a_{2}\end{bmatrix}}}$

Los parámetros T no son tan fáciles de medir directamente como los parámetros S. Sin embargo, los parámetros S se convierten fácilmente en parámetros T ; consulte el artículo principal para obtener más detalles. ^[21]

Combinaciones de redes de dos puertos.

Cuando se conectan dos o más redes de dos puertos, los parámetros de dos puertos de la red combinada se pueden encontrar realizando álgebra matricial en las matrices de parámetros para los dos puertos componentes. El funcionamiento de la matriz puede hacerse particularmente sencillo con una elección adecuada de los parámetros de dos puertos para que coincidan con la forma de conexión de los dos puertos. Por ejemplo, los parámetros z son mejores para puertos conectados en serie.

Las reglas de combinación deben aplicarse con cuidado. Algunas conexiones (cuando se unen potenciales diferentes) dan como resultado que la condición del puerto se invalide y la regla de combinación ya no se aplicará. Se puede utilizar una prueba de Brune para comprobar la permisibilidad de la combinación. Esta dificultad se puede superar colocando transformadores ideales 1:1 en las salidas de los dos puertos problemáticos. Esto no cambia los parámetros de los dos puertos, pero garantiza que seguirán cumpliendo las condiciones del puerto cuando estén interconectados. Un ejemplo de este problema se muestra para conexiones serie-serie en las figuras 11 y 12 a continuación. ^[22]

Conexión serie-serie

Fig. 10. Dos redes de dos puertos con puertos de entrada conectados en serie y puertos de salida conectados en serie.

Cuando se conectan dos puertos en una configuración serie-serie como se muestra en la figura 10, la mejor opción de parámetro de dos puertos son los parámetros z . Los parámetros z de la red combinada se encuentran mediante la suma matricial de las dos matrices de parámetros z individuales. ^{[23] [24]}

${\displaystyle [\mathbf {z} ]=[\mathbf {z} ]_{1}+[\mathbf {z} ]_{2}}$

Fig. 11. Ejemplo de conexión incorrecta de dos puertos. R ₁ de los dos puertos inferiores ha sido puenteado por un cortocircuito.

Fig. 12. Uso de transformadores ideales para restaurar la condición del puerto a redes interconectadas.

Como se mencionó anteriormente, hay algunas redes que no se someterán directamente a este análisis. ^[22] Un ejemplo simple es un puerto de dos que consta de una red L de resistencias R ₁ y R ₂ . Los parámetros z para esta red son;

${\displaystyle [\mathbf {z} ]_{1}={\begin{bmatrix}R_{1}+R_{2}&R_{2}\\R_{2}&R_{2}\end{bmatrix}}}$

La Figura 11 muestra dos redes idénticas conectadas en serie. Los parámetros z totales predichos por la suma de matrices son;

${\displaystyle [\mathbf {z} ]=[\mathbf {z} ]_{1}+[\mathbf {z} ]_{2}=2[\mathbf {z} ]_{1}={\begin{bmatrix}2R_{1}+2R_{2}&2R_{2}\\2R_{2}&2R_{2}\end{bmatrix}}}$

Sin embargo, el análisis directo del circuito combinado muestra que,

${\displaystyle [\mathbf {z} ]={\begin{bmatrix}R_{1}+2R_{2}&2R_{2}\\2R_{2}&2R_{2}\end{bmatrix}}}$

La discrepancia se explica observando que R ₁ de los dos puertos inferiores ha sido puenteado por el cortocircuito entre dos terminales de los puertos de salida. Esto da como resultado que no fluya corriente a través de un terminal en cada uno de los puertos de entrada de las dos redes individuales. En consecuencia, la condición del puerto se rompe para ambos puertos de entrada de las redes originales ya que la corriente aún puede fluir hacia el otro terminal. Este problema se puede resolver insertando un transformador ideal en el puerto de salida de al menos una de las redes de dos puertos. Si bien este es un enfoque común en los libros de texto para presentar la teoría de dos puertos, la practicidad del uso de transformadores es una cuestión que debe decidirse para cada diseño individual.

Conexión paralelo-paralelo

Fig. 13. Dos redes de dos puertos con puertos de entrada conectados en paralelo y puertos de salida conectados en paralelo.

Cuando se conectan dos puertos en una configuración paralelo-paralelo como se muestra en la figura 13, la mejor opción de parámetro de dos puertos son los parámetros y . Los parámetros y de la red combinada se encuentran mediante la suma matricial de las dos matrices de parámetros y individuales . ^[25]

${\displaystyle [\mathbf {y} ]=[\mathbf {y} ]_{1}+[\mathbf {y} ]_{2}}$

Conexión serie-paralelo

Fig. 14. Dos redes de dos puertos con puertos de entrada conectados en serie y puertos de salida conectados en paralelo.

Cuando se conectan dos puertos en una configuración serie-paralelo como se muestra en la figura 14, la mejor opción de parámetro de dos puertos son los parámetros h . Los parámetros h de la red combinada se encuentran mediante la suma matricial de las dos matrices de parámetros h individuales. ^[26]

${\displaystyle [\mathbf {h} ]=[\mathbf {h} ]_{1}+[\mathbf {h} ]_{2}}$

Conexión en serie paralela

Fig. 15. Dos redes de dos puertos con puertos de entrada conectados en paralelo y puertos de salida conectados en serie.

Cuando se conectan dos puertos en una configuración en serie paralela como se muestra en la figura 15, la mejor opción de parámetro de dos puertos son los parámetros g . Los parámetros g de la red combinada se encuentran mediante la suma matricial de las dos matrices de parámetros g individuales.

${\displaystyle [\mathbf {g} ]=[\mathbf {g} ]_{1}+[\mathbf {g} ]_{2}}$

Conexión en cascada

Fig. 16. Dos redes de dos puertos con el puerto de salida del primero conectado al puerto de entrada del segundo

Cuando se conectan dos puertos con el puerto de salida del primero conectado al puerto de entrada del segundo (una conexión en cascada) como se muestra en la figura 16, la mejor opción de parámetro de dos puertos son los parámetros ABCD . Los parámetros a de la red combinada se encuentran mediante la multiplicación matricial de las dos matrices de parámetros a individuales . ^[27]

${\displaystyle [\mathbf {a} ]=[\mathbf {a} ]_{1}\cdot [\mathbf {a} ]_{2}}$

Se puede combinar una cadena de n dos puertos mediante la multiplicación matricial de las n matrices. Para combinar una cascada de matrices de parámetros b , se vuelven a multiplicar, pero la multiplicación debe realizarse en orden inverso, de modo que;

${\displaystyle [\mathbf {b} ]=[\mathbf {b} ]_{2}\cdot [\mathbf {b} ]_{1}}$

Ejemplo

Supongamos que tenemos una red de dos puertos que consta de una resistencia en serie R seguida de un condensador en derivación C. Podemos modelar toda la red como una cascada de dos redes más simples:

${\displaystyle {\begin{aligned}[][\mathbf {b} ]_{1}&={\begin{bmatrix}1&-R\\0&1\end{bmatrix}}\\\lbrack \mathbf {b} \rbrack _{2}&={\begin{bmatrix}1&0\\-sC&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

La matriz de transmisión para toda la red [ b ] es simplemente la multiplicación de las matrices de transmisión para los dos elementos de la red:

${\displaystyle {\begin{aligned}[]\lbrack \mathbf {b} \rbrack &=\lbrack \mathbf {b} \rbrack _{2}\cdot \lbrack \mathbf {b} \rbrack _{1}\\&={\begin{bmatrix}1&0\\-sC&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-R\\0&1\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}1&-R\\-sC&1+sCR\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

De este modo:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{2}\\-I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-R\\-sC&1+sCR\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\I_{1}\end{bmatrix}}}$

Interrelación de parámetros

Donde Δ[ x ] es el determinante de [ x ] .

Ciertos pares de matrices tienen una relación particularmente simple. Los parámetros de admitancia son la matriz inversa de los parámetros de impedancia, los parámetros híbridos inversos son la matriz inversa de los parámetros híbridos y la forma [ b ] de los parámetros ABCD es la matriz inversa de la forma [ a ] . Eso es,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\mathbf {y} \right]&=[\mathbf {z} ]^{-1}\\\left[\mathbf {g} \right]&=[\mathbf {h} ]^{-1}\\\left[\mathbf {b} \right]&=[\mathbf {a} ]^{-1}\end{aligned}}}$

Redes con más de dos puertos

Si bien las redes de dos puertos son muy comunes (p. ej., amplificadores y filtros), otras redes eléctricas, como acopladores direccionales y circuladores, tienen más de 2 puertos. Las siguientes representaciones también son aplicables a redes con un número arbitrario de puertos:

• Parámetros de admitancia ( y )
• Parámetros de impedancia ( z )
• Parámetros de dispersión ( S )

Por ejemplo, los parámetros de impedancia de tres puertos dan como resultado la siguiente relación:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\\V_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{21}&Z_{22}&Z_{23}\\Z_{31}&Z_{32}&Z_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\\I_{3}\end{bmatrix}}}$

Sin embargo, las siguientes representaciones se limitan necesariamente a dispositivos de dos puertos:

• Parámetros híbridos ( h )
• Parámetros híbridos inversos ( g )
• Parámetros de transmisión ( ABCD )
• Parámetros de transferencia de dispersión ( T )

Colapso de dos puertos en un solo puerto

Una red de dos puertos tiene cuatro variables y dos de ellas son independientes. Si uno de los puertos termina en una carga sin fuentes independientes, entonces la carga impone una relación entre el voltaje y la corriente de ese puerto. Se pierde cierto grado de libertad. El circuito ahora tiene sólo un parámetro independiente. La impedancia de dos puertos se convierte en una impedancia de un puerto para la variable independiente restante.

Por ejemplo, considere los parámetros de impedancia.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\z_{21}&z_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}$

Al conectar una carga, Z _L al puerto 2 agrega efectivamente la restricción

${\displaystyle V_{2}=-Z_{\mathrm {L} }I_{2}\,}$

El signo negativo se debe a que la dirección positiva para I ₂ se dirige hacia los dos puertos en lugar de hacia la carga. Las ecuaciones aumentadas se convierten en

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}&=Z_{11}I_{1}+Z_{12}I_{2}\\-Z_{\mathrm {L} }I_{2}&=Z_{21}I_{1}+Z_{22}I_{2}\end{aligned}}}$

La segunda ecuación se puede resolver fácilmente para I ₂ como función de I ₁ y esa expresión puede reemplazar a I ₂ en la primera ecuación dejando a V ₁ (y V ₂ y I ₂ ) como funciones de I _1.

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}&=-{\frac {Z_{21}}{Z_{\mathrm {L} }+Z_{22}}}I_{1}\\[3pt]V_{1}&=Z_{11}I_{1}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{\mathrm {L} }+Z_{22}}}I_{1}\\[2pt]&=\left(Z_{11}-{\frac {Z_{12}Z_{21}}{Z_{\mathrm {L} }+Z_{22}}}\right)I_{1}=Z_{\text{in}}I_{1}\end{aligned}}}$

Entonces, en efecto, I ₁ ve una impedancia de entrada Z _in y el efecto de los dos puertos en el circuito de entrada se ha reducido efectivamente a un solo puerto; es decir, una impedancia simple de dos terminales.

Ver también

• Parámetros de admitancia
• Parámetros de impedancia
• Parámetros de dispersión
• Método de matriz de transferencia (óptica) para el cálculo de reflexión/transmisión de ondas de luz en capas transparentes
• Matriz de transferencia de rayos para el cálculo de la propagación paraxial de un rayo de luz.

Notas

1. Las resistencias del emisor contrarrestan cualquier aumento de corriente disminuyendo el transistor V _BE . Es decir, las resistencias R _E provocan retroalimentación negativa que se opone al cambio de corriente. En particular, cualquier cambio en el voltaje de salida resulta en un menor cambio en la corriente que sin esta retroalimentación, lo que significa que la resistencia de salida del espejo ha aumentado.
2. La doble barra vertical denota una conexión en paralelo de las resistencias: . ${\displaystyle R_{1}\mathbin {\|} R_{2}=1/(1/R_{1}+1/R_{2})}$

Referencias

1. Gris, §3.2, pág. 172
2. Jaeger, §10.5 §13.5 §13.8
3. Jasper J. Goedbloed. "Medidas de reciprocidad y EMC" (PDF) . EMCS . Consultado el 28 de abril de 2014 .
4. Nahvi, pag. 311.
5. Matthaei y otros, págs. 70–72.
6. Matthaei y otros, pág. 27.
7. Matthaei y otros, pág. 29.
8. 56 IRE 28.S2, pág. 1543
9. Informe del comité AIEE-IRE, p. 725
10. Norma IEEE 218-1956
11. Matthaei y otros, pág. 26.
12. Ghosh, pag. 353.
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20. Egan, págs. 12-15
21. Egan, págs. 13-14
22. Farago, págs. 122-127.
23. Ghosh, pag. 371.
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historia de los parámetros h

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• Comité conjunto AIEE-IRE, "Métodos propuestos para probar transistores", Transacciones del Instituto Americano de Ingenieros Eléctricos: Comunicaciones y Electrónica , págs. 725–740, enero de 1955.
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• Métodos estándar IEEE para probar transistores, IEEE Std 218-1956.