El método de Van der Corput

En matemáticas, el método de van der Corput genera estimaciones de sumas exponenciales . El método aplica dos procesos, los procesos A y B de van der Corput , que relacionan las sumas en sumas más simples que son más fáciles de estimar.

Los procesos se aplican a sumas exponenciales de la forma

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}e(f(n))\ }$

donde f es una función suficientemente suave y e ( x ) denota exp(2πi x ).

Proceso A

Para aplicar el proceso A, escriba la primera diferencia f _h ( x ) para f ( x + h ) − f ( x ).

Supongamos que hay H ≤ b − a tal que

${\displaystyle \sum _{h=1}^{H}\left\vert {\sum _{n=a}^{b-h}e(f_{h}(n))}\right\vert \leq b-a\ .}$

Entonces

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll {\frac {b-a}{\sqrt {H}}}\ .}$

Proceso B

El proceso B transforma la suma que involucra f en una que involucra una función g definida en términos de la derivada de f. Supongamos que f' es monótona y aumenta con f '( a ) = α, f '( b ) = β. Entonces f ' es invertible en [α,β] con u inversa, digamos . Supongamos además f '' ≥ λ > 0. Escribe

${\displaystyle g(y)=f(u(y))-yu(y)\ .}$

Tenemos

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}\max _{\alpha \leq \gamma \leq \beta }\left\vert {\sum _{\nu =\alpha }^{\gamma }e(g(\nu ))}\right\vert \ .}$

Al aplicar el proceso B nuevamente a la suma que involucra g se regresa a la suma sobre f y, por lo tanto, no se obtiene más información.

pares de exponentes

El método de pares de exponentes proporciona una clase de estimaciones para funciones con una propiedad de suavidad particular. Fijar los parámetros N , R , T , s ,δ. Consideramos funciones f definidas en un intervalo [ N ,2 N ] que son R veces continuamente diferenciables , satisfaciendo

${\displaystyle \left\vert {f^{(r+1)}(x)-(-1)^{r}s(s+1)\cdots (s+r)Tx^{-s-r}}\right\vert \leq \delta s(s+1)\cdots (s+r)Tx^{-s-r}\ }$

uniformemente en [ a , b ] para 0 ≤ r < R .

Decimos que un par de números reales ( k , l ) con 0 ≤ k ≤ 1/2 ≤ l ≤ 1 es un par de exponentes si para cada σ > 0 existen δ y R dependiendo de k , l ,σ tales que

${\displaystyle \left\vert {\sum _{n=a}^{b}e(f(n))}\right\vert \ll \left({\frac {T}{N^{\sigma }}}\right)^{k}N^{l}\ }$

uniformemente en f .

Mediante el Proceso A encontramos que si ( k , l ) es un par de exponentes, entonces también lo es . Por el Proceso B encontramos que así es . ${\displaystyle \left({{\frac {k}{2k+2}},{\frac {k+l+1}{2k+2}}}\right)}$ ${\displaystyle \left({l-1/2,k+1/2}\right)}$

Una cota trivial muestra que (0,1) es un par de exponentes.

El conjunto de pares de exponentes es convexo.

Se sabe que si ( k , l ) es un par de exponentes entonces la función zeta de Riemann en la línea crítica satisface

${\displaystyle \zeta (1/2+it)\ll t^{\theta }\log t}$

dónde . ${\displaystyle \theta =(k+l-1/2)/2}$

La conjetura del par de exponentes establece que para todo ε > 0, el par (ε,1/2+ε) es un par de exponentes. Esta conjetura implica la hipótesis de Lindelöf .

Referencias

• Ivić, Aleksandar (1985). La función zeta de Riemann. La teoría de la función zeta de Riemann con aplicaciones . Nueva York, etc.: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-80634-X. Zbl  0556.10026.
• Montgomery, Hugh L. (1994). Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . Serie de Conferencias Regionales en Matemáticas. vol. 84. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-0737-4. Zbl  0814.11001.
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006). Manual de teoría de números I. Dordrecht: Springer-Verlag . ISBN 1-4020-4215-9. Zbl  1151.11300.