Pareja Ruth–Aaron

Two consecutive integers for which the sums of the prime factors of each are equal

En matemáticas , un par Ruth-Aaron consta de dos números enteros consecutivos (por ejemplo, 714 y 715) para los cuales las sumas de los factores primos de cada número entero son iguales:

714 = 2 × 3 × 7 × 17,

715 = 5 × 11 × 13,

y

2 + 3 + 7 + 17 = 5 + 11 + 13 = 29.

Hay diferentes variaciones en la definición, dependiendo de cuántas veces se deben contar los números primos que aparecen varias veces en una factorización.

El nombre fue dado por Carl Pomerance a Babe Ruth y Hank Aaron , ya que el total de jonrones de la temporada regular de Ruth fue de 714, un récord que Aaron eclipsó el 8 de abril de 1974, cuando conectó su jonrón número 715 de su carrera. Pomerance era un matemático de la Universidad de Georgia en el momento en que Aaron (un miembro de los cercanos Atlanta Braves ) rompió el récord de Ruth, y el estudiante de uno de los colegas de Pomerance notó que las sumas de los factores primos de 714 y 715 eran iguales. ^[1]

Ejemplos

Si sólo se cuentan los factores primos distintos , los primeros pares Ruth-Aaron son:

( 5 , 6 ), ( 24 , 25 ), ( 49 , 50 ), ( 77 , 78 ), ( 104 , 105 ), ( 153 , 154 ), (369, 370 ), (492, 493), (714 , 715), (1682, 1683), (2107, 2108)

(El menor de cada par aparece en la OEIS : A006145 ).

Contando factores primos repetidos (por ejemplo, 8 = 2×2×2 y 9 = 3×3 con 2+2+2 = 3+3), los primeros pares de Ruth-Aaron son:

( 5 , 6 ), ( 8 , 9 ), ( 15 , 16 ), (77, 78), ( 125 , 126 ), (714, 715), (948, 949), (1330, 1331)

(El menor de cada par aparece en la OEIS : A039752 ).

La intersección de las dos listas comienza:

(5, 6), (77, 78), (714, 715), (5405, 5406).

(El menor de cada par aparece en la OEIS : A039753 ).

Cualquier par de números enteros libres de cuadrados de Ruth-Aaron pertenece a ambas listas con la misma suma de factores primos. La intersección también contiene pares que no son libres de cuadrados, por ejemplo (7129199, 7129200) = (7×11 ² ×19×443, 2 ⁴ ×3×5 ² ×13×457). Aquí 7+11+19+443 = 2+3+5+13+457 = 480, y también 7+11+11+19+443 = 2+2+2+2+3+5+5+13+457 = 491.

Densidad

Los pares Ruth-Aaron son dispersos (es decir, tienen una densidad de 0). Esto fue conjeturado por Nelson et al. en 1974 ^[2] y demostrado en 1978 por Paul Erdős y Pomerance. ^[3]

Trillizos Ruth-Aaron

También existen tripletes de Ruth-Aaron (pares de Ruth-Aaron superpuestos). El primero y posiblemente el segundo cuando se cuentan factores primos distintos:

89460294 = 2 × 3 × 7 × 11 × 23 × 8419,

89460295 = 5 × 4201 × 4259,

89460296 = 2 × 2 × 2 × 31 × 43 × 8389,

y 2 + 3 + 7 + 11 + 23 + 8419 = 5 + 4201 + 4259 = 2 + 31 + 43 + 8389 = 8465.

151165960539 = 3 × 11 × 11 × 83 × 2081 × 2411,

151165960540 = 2 × 2 × 5 × 7 × 293 × 1193 × 3089,

151165960541 = 23 × 29 × 157 × 359 × 4021,

y 3 + 11 + 83 + 2081 + 2411 = 2 + 5 + 7 + 293 + 1193 + 3089 = 23 + 29 + 157 + 359 + 4021 = 4589.

Los dos primeros tripletes de Ruth-Aaron al contar factores primos repetidos:

417162 = 2 × 3 × 251 × 277,

417163 = 17 × 53 × 463,

417164 = 2 × 2 × 11 × 19 × 499,

y 2 + 3 + 251 + 277 = 17 + 53 + 463 = 2 + 2 + 11 + 19 + 499 = 533.

6913943284 = 2 × 2 × 37 × 89 × 101 × 5197,

6913943285 = 5 × 283 × 1259 × 3881,

6913943286 = 2 × 3 × 167 × 2549 × 2707,

y 2 + 2 + 37 + 89 + 101 + 5197 = 5 + 283 + 1259 + 3881 = 2 + 3 + 167 + 2549 + 2707 = 5428.

A partir de 2006, ^[update]sólo se conocían los cuatro tripletes anteriores. ^{[ cita requerida ]}

Véase también

• Pareja Maris–McGwire–Sosa

Referencias

1. Números de Aaron -- Numberphile
2. Nelson, C.; Penney, DE; y Pomerance, C. "714 y 715". J. Recr. Math. 7, 87–89, 1974.
3. Erdős, P. y Pomerance, C. "Sobre los factores primos más grandes de n y n  + 1". Aequationes Mathematicae 17, 311–321, 1978.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Par Ruth-Aaron". MathWorld .
• "Trillizos Ruth–Aaron" y "Revisión de las parejas Ruth–Aaron". La conexión entre los problemas y los acertijos principales . Consultado el 9 de noviembre de 2006.