Fibrado tangente holomorfo

En matemáticas , y especialmente en geometría compleja , el fibrado tangente holomorfo de una variedad compleja es el análogo holomorfo del fibrado tangente de una variedad lisa . La fibra del fibrado tangente holomorfo sobre un punto es el espacio tangente holomorfo , que es el espacio tangente de la variedad lisa subyacente, dada la estructura de un espacio vectorial complejo a través de la estructura casi compleja de la variedad compleja . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle M}$

Definición

Dada una variedad compleja de dimensión compleja , su fibrado tangente como fibrado vectorial liso es un fibrado vectorial de rango real en . La estructura casi compleja integrable correspondiente a la estructura compleja en la variedad es un endomorfismo con la propiedad de que . Después de complejizar el fibrado tangente real a , el endomorfismo puede extenderse de manera compleja-lineal a un endomorfismo definido por para vectores en . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle J:TM\to TM}$ ${\displaystyle J^{2}=-\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} \to M}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J:TM\otimes \mathbb {C} \to TM\otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle J(X+iY)=J(X)+iJ(Y)}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle TM}$

Dado que , tiene valores propios en el fibrado tangente complejizado y, por lo tanto, se divide como una suma directa ${\displaystyle J^{2}=-\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle i,-i}$ ${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} }$

${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} =T^{1,0}M\oplus T^{0,1}M}$

donde es el fibrado propio - y el fibrado propio -. El fibrado tangente holomorfo de es el fibrado vectorial y el fibrado tangente antiholomorfo es el fibrado vectorial . ${\displaystyle T^{1,0}M}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle T^{0,1}M}$ ${\displaystyle -i}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{1,0}M}$ ${\displaystyle T^{0,1}M}$

Los fibrados vectoriales y son naturalmente subfibrados vectoriales complejos del fibrado vectorial complejo , y se pueden tomar sus duales. El fibrado cotangente holomorfo es el dual del fibrado tangente holomorfo, y se escribe . De manera similar, el fibrado cotangente antiholomorfo es el dual del fibrado tangente antiholomorfo, y se escribe . Los fibrados (co)tangentes holomorfos y antiholomorfos se intercambian por conjugación , lo que da un isomorfismo lineal real (¡pero no lineal complejo!) . ${\displaystyle T^{1,0}M}$ ${\displaystyle T^{0,1}M}$ ${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} }$ ${\displaystyle T_{1,0}^{*}M}$ ${\displaystyle T_{0,1}^{*}M}$ ${\displaystyle T^{1,0}M\to T^{0,1}M}$

El fibrado tangente holomorfo es isomorfo como fibrado vectorial real de rango al fibrado tangente regular . El isomorfismo se da por la composición de la inclusión en el fibrado tangente complejizado y luego la proyección sobre el fibrado propio. ${\displaystyle T^{1,0}M}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle TM\hookrightarrow TM\otimes \mathbb {C} {\xrightarrow {\operatorname {pr} _{1,0}}}T^{1,0}M}$ ${\displaystyle i}$

El haz canónico está definido por . ${\displaystyle K_{M}=\Lambda ^{n}T_{1,0}^{*}M}$

Descripción local alternativa

En un gráfico holomorfo local de , se han distinguido las coordenadas reales definidas por para cada . Estas dan formas unitarias de valor complejo distinguidas en . Duales de estas formas unitarias de valor complejo son los campos vectoriales de valor complejo (es decir, secciones del fibrado tangente complejizado), ${\displaystyle \varphi =(z^{1},\dots ,z^{n}):U\to \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (x^{1},\dots ,x^{n},y^{1},\dots ,y^{n})}$ ${\displaystyle z^{j}=x^{j}+iy^{j}}$ ${\displaystyle j=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j}}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z^{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}-i{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+i{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right).}$

En conjunto, estos campos vectoriales forman un marco para , la restricción del fibrado tangente complejizado a . Como tal, estos campos vectoriales también dividen el fibrado tangente complejizado en dos subfibrados ${\displaystyle \left.TM\otimes \mathbb {C} \right|_{U}}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \left.T^{1,0}M\right|_{U}:=\operatorname {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial z^{j}}}\right\},\quad \left.T^{0,1}M\right|_{U}:=\operatorname {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}\right\}.}$

Bajo un cambio holomorfo de coordenadas, estos dos subfibrados de se conservan, y así, al cubrirlos con cartas holomorfas, se obtiene una división del fibrado tangente complejizado. Esta es precisamente la división en los fibrados tangentes holomorfos y antiholomorfos descrita anteriormente. De manera similar, las formas unitarias de valor complejo y proporcionan la división del fibrado cotangente complejizado en los fibrados cotangentes holomorfos y antiholomorfos. ${\displaystyle \left.TM\otimes \mathbb {C} \right|_{U}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle dz^{j}}$ ${\displaystyle d{\bar {z}}^{j}}$

Desde esta perspectiva, el nombre fibrado tangente holomorfo se vuelve transparente. Es decir, las funciones de transición para el fibrado tangente holomorfo, con sistemas locales generados por , están dadas por la matriz jacobiana de las funciones de transición de . Explícitamente, si tenemos dos gráficos con dos conjuntos de coordenadas , entonces ${\displaystyle \partial /\partial z^{j}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U_{\alpha },U_{\beta }}$ ${\displaystyle z^{j},w^{k}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z^{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial w^{k}}{\partial z^{j}}}{\frac {\partial }{\partial w^{k}}}.}$

Dado que las funciones de coordenadas son holomorfas, también lo son todas sus derivadas, y por lo tanto las funciones de transición del fibrado tangente holomorfo también son holomorfas. Por lo tanto, el fibrado tangente holomorfo es un fibrado vectorial holomorfo genuino . De manera similar, el fibrado cotangente holomorfo es un fibrado vectorial holomorfo genuino, con funciones de transición dadas por la transpuesta inversa de la matriz jacobiana. Nótese que los fibrados tangente y cotangente antiholomorfos no tienen funciones de transición holomorfas, sino antiholomorfas.

En términos de los marcos locales descritos, la estructura casi compleja actúa mediante ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J:{\frac {\partial }{\partial z^{j}}}\mapsto i{\frac {\partial }{\partial z^{j}}},\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}\mapsto -i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}},}$

o en coordenadas reales por

${\displaystyle J:{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\mapsto {\frac {\partial }{\partial y^{j}}},\quad {\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\mapsto -{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}.}$

Campos vectoriales holomorfos y formas diferenciales

Dado que los fibrados tangente y cotangente holomorfos tienen la estructura de fibrados vectoriales holomorfos, existen secciones holomorfas diferenciadas. Un cuerpo vectorial holomorfo es una sección holomorfa de . Una uniforma holomorfa es una sección holomorfa de . Al tomar potencias externas de , se pueden definir -formas holomorfas para números enteros . El operador de Cauchy-Riemann de se puede extender desde funciones a formas diferenciales de valor complejo, y las secciones holomorfas del fibrado cotangente holomorfo concuerdan con las -formas diferenciales de valor complejo que son aniquiladas por . Para más detalles, véase formas diferenciales complejas . ${\displaystyle T^{1,0}M}$ ${\displaystyle T_{1,0}^{*}M}$ ${\displaystyle T_{1,0}^{*}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (p,0)}$ ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$

Véase también

• Variedad casi compleja
• Variedad hermítica

Referencias

• Huybrechts, Daniel (2005). Geometría compleja: una introducción . Springer. ISBN 3-540-21290-6.
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, Sr.  1288523