El panal tetraédrico-octaédrico , panal cúbico alternado , es una teselación cuasirregular que llena el espacio (o panal ) en el espacio tridimensional euclidiano . Está compuesto por octaedros y tetraedros regulares alternados en una proporción de 1:2.
Otros nombres incluyen panal semicúbico , celulación semicúbica o celulación diesfenoidal tetragonal . John Horton Conway llama a este panal tetroctaedrilo y a su doble dodecaedrilo .
R. Buckminster Fuller combina las dos palabras oct ahedron y tet rahedron en octet truss, un romboedro que consiste en un octaedro (o dos pirámides cuadradas) y dos tetraedros opuestos.
Es transitivo de vértice con 8 tetraedros y 6 octaedros alrededor de cada vértice . Es transitivo de arista con 2 tetraedros y 2 octaedros alternados en cada arista.
Un panal geométrico es un relleno de espacio de celdas poliédricas o de dimensiones superiores , de modo que no haya espacios vacíos. Es un ejemplo de mosaico matemático más general en cualquier número de dimensiones.
Los panales de abejas se construyen generalmente en el espacio euclidiano ordinario ("plano"), como los panales de abejas uniformes convexos . También pueden construirse en espacios no euclidianos , como los panales de abejas uniformes hiperbólicos . Cualquier politopo uniforme finito puede proyectarse a su circunsfera para formar un panal de abejas uniforme en el espacio esférico.
Forma parte de una familia infinita de panales uniformes denominados panales hipercúbicos alternados , formados como una alternancia de un panal hipercúbico y estando compuestos por facetas de semihipercubos y politopos cruzados . También forma parte de otra familia infinita de panales uniformes denominados panales simplécticos .
En este caso de espacio tridimensional, el panal cúbico se alterna, reduciendo las celdas cúbicas a tetraedros, y los vértices eliminados crean huecos octaédricos. Por lo tanto, se puede representar mediante un símbolo de Schläfli extendido h{4,3,4} que contiene la mitad de los vértices del panal cúbico {4,3,4}.
Existe un panal similar llamado panal tetraédrico-octaédrico girado que tiene capas rotadas 60 grados, de modo que la mitad de los bordes tienen tetraedros y octaedros vecinos en lugar de alternados.
El panal tetraédrico-octaédrico puede tener su simetría duplicada colocando tetraedros sobre las celdas octaédricas, creando un panal no uniforme que consiste en tetraedros y octaedros (como antiprismas triangulares). Su figura de vértice es un triakistetraedro truncado de orden 3. Este panal es el dual del panal tetraédrico truncado triakis , con celdas tetraédricas truncadas triakis .
Para un panal cúbico alternado , con aristas paralelas a los ejes y con una longitud de arista de 1, las coordenadas cartesianas de los vértices son: (Para todos los valores enteros: i , j , k con i + j + k par )
Existen dos construcciones reflectantes y muchas construcciones de panal cúbico alternado ; ejemplos:
El panal cúbico alternado se puede cortar en secciones, donde se crean nuevas caras cuadradas desde el interior del octaedro. Cada corte contendrá pirámides cuadradas orientadas hacia arriba y hacia abajo y tetraedros que se asientan sobre sus bordes. Una segunda dirección de corte no necesita caras nuevas e incluye tetraedros y octaedros alternados. Este panal en losa es un panal escaliforme en lugar de uniforme porque tiene celdas no uniformes.
El panal cúbico alternado se puede proyectar ortogonalmente en el mosaico cuadrado plano mediante una operación de plegado geométrico que mapea un par de espejos entre sí. La proyección del panal cúbico alternado crea dos copias desplazadas de la disposición de vértices del mosaico cuadrado del plano:
Su disposición de vértices representa una red A 3 o red D 3 . [2] [3] Esta red se conoce como red cúbica centrada en las caras en cristalografía y también se conoce como red cúbica compacta , ya que sus vértices son los centros de un empaquetamiento compacto con esferas iguales que logra la mayor densidad promedio posible. El panal tetraédrico-octaédrico es el caso tridimensional de un panal simpléctico . Su celda de Voronoi es un dodecaedro rómbico , el dual de la figura de vértice del cuboctaedro para el panal tet-oct.
La D+
3El empaquetamiento se puede construir mediante la unión de dos redes D 3 (o A 3 ). La red D+
nEl empaquetamiento es solo una red para dimensiones pares. El número de besos es 2 2 = 4, (2 n-1 para n < 8, 240 para n = 8 y 2n (n-1) para n > 8). [4]
∪La A*
3o D*
3enrejado (también llamado A4
3o D4
3) se puede construir mediante la unión de las cuatro redes A 3 , y es idéntica a la disposición de los vértices del panal tetraédrico diesfenoide , panal dual del panal cúbico bitruncado uniforme : [5] También es el cúbico centrado en el cuerpo , la unión de dos panales cúbicos en posiciones duales.
∪
∪
∪= dual de
=
∪.El número del beso del D*
3La red es 8 [6] y su teselación de Voronoi es un panal cúbico bitruncado ,
, que contiene todas las celdas de Voronoi octaédricas truncadas ,. [7]
El [4,3,4],El grupo de Coxeter genera 15 permutaciones de panales uniformes, 9 de ellas con geometría distinta, incluido el panal cúbico alternado. El panal cúbico expandido (también conocido como panal teseractico runcinado) es geométricamente idéntico al panal cúbico.
El [4,3 1,1 ],El grupo de Coxeter genera 9 permutaciones de panales uniformes, 4 de ellas con geometría distinta, incluido el panal cúbico alternado.
Este panal es uno de los cinco panales uniformes distintos [8] construidos por el grupo de Coxeter . La simetría se puede multiplicar por la simetría de los anillos en los diagramas de Coxeter-Dynkin :
El panal cúbico cántico , celulación cúbica cántica o panal cúbico truncado es una teselación (o panal ) uniforme que llena el espacio en el espacio tridimensional euclidiano. Está compuesto por octaedros truncados , cuboctaedros y tetraedros truncados en una proporción de 1:1:2. Su figura de vértice es una pirámide rectangular .
John Horton Conway llama a este panal tetraoctaedrillo truncado , y a su doble mitad octaedrillo oblato .
Tiene dos construcciones uniformes diferentes. La construcción se puede ver con tetraedros truncados de colores alternados .
Está relacionado con el panal cúbico cantelado . Los rombicuboctaedros se reducen a octaedros truncados y los cubos se reducen a tetraedros truncados.
El panal cúbico rúnico o celulación cúbica rúnica es una teselación (o panal ) que llena el espacio de manera uniforme en el espacio tridimensional euclidiano. Está compuesto por rombicuboctaedros , cubos y tetraedros en una proporción de 1:1:2. Su figura de vértice es un tronco triangular , con un tetraedro en un extremo, un cubo en el extremo opuesto y tres rombicuboctaedros alrededor de los lados trapezoidales.
John Horton Conway llama a este panal un 3-RCO-trille , y a su cuarto doble un cubille .
El dual de un panal cúbico rúnico se llama cuarto de cubillo , con diagrama de Coxeter 
, con caras en 2 de 4 hiperplanos del dominio fundamental de simetría [4,3 1,1 ].
Las celdas se pueden ver como 1/4 de un cubo diseccionado , con 4 vértices y el centro. Existen 4 celdas alrededor de 6 aristas y 3 celdas alrededor de 3 aristas.
Está relacionado con el panal cúbico runcinado , con una cuarta parte de los cubos alternados en tetraedros y la mitad expandidos en rombicuboctaedros.
Este panal se puede dividir en planos de teselación cuadrados truncados , utilizando los centros de los octógonos de los rombicuboctaedros, creando cúpulas cuadradas . Este panal escaliforme está representado por el diagrama de Coxeter.
, y símbolo s 3 {2,4,4}, con simetría de notación de Coxeter [2 + ,4,4].
.El panal cúbico runcicántico o celulación cúbica runcicántica es una teselación (o panal ) que llena el espacio de manera uniforme en el espacio tridimensional euclidiano. Está compuesto por cuboctaedros truncados , cubos truncados y tetraedros truncados en una proporción de 1:1:2, con una figura de vértice esfenoidal reflejada . Está relacionado con el panal cúbico runcicantelado .
John Horton Conway llama a este panal f-tCO-trille , y a su doble media piramidilla .
El dual del panal cúbico runcitruncado se llama media piramidilla , con diagrama de Coxeter Las caras existen en 3 de los 4 hiperplanos del grupo de Coxeter [4,3 1,1 ] .
Las células son pirámides irregulares y pueden verse como 1/12 de un cubo o 1/24 de un dodecaedro rómbico , cada uno definido con tres esquinas y el centro del cubo.
Existe un apeiroedro oblicuo uniforme relacionado con la misma disposición de vértices , pero sin triángulos ni cuadrados. Se puede ver como tetraedros truncados y cubos truncados aumentados juntos.
El panal tetraédrico-octaédrico girado o panal cúbico alternado girado es una teselación que llena el espacio (o panal ) en el espacio tridimensional euclidiano formado por octaedros y tetraedros en una proporción de 1:2.
Es uniforme en sus vértices con 8 tetraedros y 6 octaedros alrededor de cada vértice.
No es uniforme en sus aristas . Todas las aristas tienen 2 tetraedros y 2 octaedros, pero algunas son alternas y otras están emparejadas.
Se pueden observar como capas reflectantes de esta capa de panal:
Esta es una versión menos simétrica de otro panal, el panal tetraédrico-octaédrico, en el que cada borde está rodeado por tetraedros y octaedros alternados. Ambos pueden considerarse como formados por capas de una celda de espesor, dentro de las cuales los dos tipos de celda se alternan estrictamente. Debido a que las caras en los planos que separan estas capas forman un patrón regular de triángulos , las capas adyacentes pueden colocarse de manera que cada octaedro en una capa se encuentre con un tetraedro en la siguiente capa, o de manera que cada celda se encuentre con una celda de su propio tipo (el límite de la capa se convierte así en un plano de reflexión ). La última forma se llama girada .
La figura del vértice se llama ortobicúpula triangular , en comparación con el panal tetraédrico-octaédrico cuya figura de vértice cuboctaedro en una simetría inferior se llama girobicúpula triangular , por lo que el prefijo giro- se invierte en su uso.
La geometría también se puede construir con una operación de alternancia aplicada a un panal prismático hexagonal . Las celdas del prisma hexagonal se convierten en octaedros y los huecos crean bipirámides triangulares que se pueden dividir en pares de tetraedros de este panal. Este panal con bipirámides se llama panal ditetraédrico-octaédrico . Hay 3 diagramas de Coxeter-Dynkin , que se pueden ver como 1, 2 o 3 colores de octaedros:
El panal cúbico alternado giroelongado o celulación antiprismática triangular alargada es una teselación que llena el espacio (o panal ) en el espacio tridimensional euclidiano . Está compuesto por octaedros , prismas triangulares y tetraedros en una proporción de 1:2:2.
Es transitivo-vertical con 3 octaedros, 4 tetraedros y 6 prismas triangulares alrededor de cada vértice.
Es uno de los 28 panales uniformes convexos .
El panal cúbico alternado alargado tiene la misma disposición de celdas en cada vértice, pero la disposición general difiere. En la forma alargada , cada prisma se encuentra con un tetraedro en una de sus caras triangulares y con un octaedro en la otra; en la forma giroelongada , el prisma se encuentra con el mismo tipo de deltaedro en cada extremo.
El panal cúbico alternado alargado o celulación giroprismática triangular alargada es una teselación que llena el espacio (o panal ) en el espacio tridimensional euclidiano . Está compuesto por octaedros , prismas triangulares y tetraedros en una proporción de 1:2:2.
Es transitivo por vértice con 3 octaedros, 4 tetraedros y 6 prismas triangulares alrededor de cada vértice. Cada prisma se encuentra con un octaedro en un extremo y con un tetraedro en el otro.
Es uno de los 28 panales uniformes convexos .
Tiene una forma girada llamada panal cúbico alternado giroelongado con la misma disposición de celdas en cada vértice.
