En matemáticas , específicamente en teoría de grupos , dado un número primo p , un p -grupo es un grupo en el que el orden de cada elemento es una potencia de p . Es decir, para cada elemento g de un p -grupo G , existe un entero no negativo n tal que el producto de p n copias de g , y no menos, es igual al elemento identidad . Los órdenes de diferentes elementos pueden ser diferentes potencias de p .
Los grupos p abelianos también se denominan p -primarios o simplemente primarios .
Un grupo finito es un p -grupo si y solo si su orden (el número de sus elementos) es una potencia de p . Dado un grupo finito G , los teoremas de Sylow garantizan la existencia de un subgrupo de G de orden p n para cada potencia prima p n que divida el orden de G .
Todo grupo p finito es nilpotente .
El resto de este artículo trata de grupos p finitos . Para un ejemplo de un grupo p abeliano infinito , véase el grupo de Prüfer , y para un ejemplo de un grupo p simple infinito , véase el grupo monstruo de Tarski .
Todo grupo p es periódico ya que por definición cada elemento tiene orden finito .
Si p es primo y G es un grupo de orden p k , entonces G tiene un subgrupo normal de orden p m para cada 1 ≤ m ≤ k . Esto se deduce por inducción, utilizando el teorema de Cauchy y el teorema de correspondencia para grupos. Un esquema de demostración es el siguiente: como el centro Z de G no es trivial (ver más abajo), según el teorema de Cauchy Z tiene un subgrupo H de orden p . Al ser central en G , H es necesariamente normal en G . Ahora podemos aplicar la hipótesis inductiva a G/H , y el resultado se deduce del teorema de correspondencia.
Uno de los primeros resultados estándar que utilizan la ecuación de clase es que el centro de un p -grupo finito no trivial no puede ser el subgrupo trivial. [1]
Esto constituye la base de muchos métodos inductivos en p -grupos.
Por ejemplo, el normalizador N de un subgrupo propio H de un p -grupo finito G contiene propiamente a H , porque para cualquier contraejemplo con H = N , el centro Z está contenido en N , y por lo tanto también en H , pero entonces hay un ejemplo más pequeño H / Z cuyo normalizador en G / Z es N / Z = H / Z , creando un descenso infinito. Como corolario, todo p -grupo finito es nilpotente .
En otra dirección, cada subgrupo normal N de un p -grupo finito interseca al centro de manera no trivial, como se puede demostrar considerando los elementos de N que son fijos cuando G actúa sobre N por conjugación. Puesto que cada subgrupo central es normal, se deduce que cada subgrupo normal mínimo de un p -grupo finito es central y tiene orden p . En efecto, el zócalo de un p -grupo finito es el subgrupo del centro que consiste en los elementos centrales de orden p .
Si G es un p -grupo, entonces también lo es G / Z , y por lo tanto también tiene un centro no trivial. La preimagen en G del centro de G / Z se llama segundo centro y estos grupos comienzan la serie central superior . Generalizando los comentarios anteriores sobre el zócalo, un p -grupo finito con orden pn contiene subgrupos normales de orden p i con 0 ≤ i ≤ n , y cualquier subgrupo normal de orden p i está contenido en el i- ésimo centro Z i . Si un subgrupo normal no está contenido en Z i , entonces su intersección con Z i +1 tiene un tamaño de al menos p i +1 .
Los grupos de automorfismos de los p -grupos están bien estudiados. Así como cada p -grupo finito tiene un centro no trivial de modo que el grupo de automorfismos interno es un cociente propio del grupo, cada p -grupo finito tiene un grupo de automorfismos externo no trivial . Cada automorfismo de G induce un automorfismo en G /Φ( G ), donde Φ( G ) es el subgrupo de Frattini de G . El cociente G/Φ( G ) es un grupo abeliano elemental y su grupo de automorfismos es un grupo lineal general , por lo que se entiende muy bien. La función del grupo de automorfismos de G en este grupo lineal general ha sido estudiada por Burnside , quien demostró que el núcleo de esta función es un p -grupo.
Los grupos p del mismo orden no son necesariamente isomorfos ; por ejemplo, el grupo cíclico C 4 y el grupo de cuatro de Klein V 4 son ambos 2-grupos de orden 4, pero no son isomorfos.
Tampoco es necesario que un grupo p sea abeliano ; el grupo diedro Dih 4 de orden 8 es un 2-grupo no abeliano. Sin embargo, todo grupo de orden p 2 es abeliano. [nota 1]
Los grupos diedros son muy similares y muy diferentes a los grupos cuaterniones y a los grupos semidiédricos . Juntos, los grupos diedros, semidiédricos y cuaterniones forman los 2-grupos de clase máxima , es decir, aquellos grupos de orden 2 n +1 y clase de nilpotencia n .
Los productos de corona iterados de grupos cíclicos de orden p son ejemplos muy importantes de p -grupos. Denotemos el grupo cíclico de orden p como W (1), y el producto de corona de W ( n ) con W (1) como W ( n + 1). Entonces W ( n ) es el p -subgrupo de Sylow del grupo simétrico Sym( p n ). Los p -subgrupos máximos del grupo lineal general GL( n , Q ) son productos directos de varios W ( n ). Tiene orden p k donde k = ( p n − 1)/( p − 1). Tiene clase de nilpotencia p n −1 , y su serie central inferior, serie central superior, serie central de exponente inferior p y serie central de exponente superior p son iguales. Es generado por sus elementos de orden p , pero su exponente es p n . El segundo grupo de este tipo, W (2), también es un p -grupo de clase máxima, ya que tiene orden p p +1 y clase de nilpotencia p , pero no es un p -grupo regular . Como los grupos de orden p p son siempre grupos regulares, también es un ejemplo mínimo de este tipo.
Cuando p = 2 y n = 2, W ( n ) es el grupo diedro de orden 8, por lo que en cierto sentido W ( n ) proporciona un análogo para el grupo diedro para todos los primos p cuando n = 2. Sin embargo, para n mayores la analogía se vuelve forzada. Hay una familia diferente de ejemplos que imita más de cerca los grupos diedros de orden 2 n , pero eso requiere un poco más de configuración. Sea ζ una raíz p primitiva de la unidad en los números complejos, sea Z [ζ] el anillo de enteros ciclotómicos generados por él, y sea P el ideal primo generado por 1−ζ. Sea G un grupo cíclico de orden p generado por un elemento z . Forme el producto semidirecto E ( p ) de Z [ζ] y G donde z actúa como multiplicación por ζ. Las potencias P n son subgrupos normales de E ( p ), y los grupos de ejemplo son E ( p , n ) = E ( p )/ P n . E ( p , n ) tiene orden p n +1 y clase de nilpotencia n , por lo que es un p -grupo de clase máxima. Cuando p = 2, E (2, n ) es el grupo diedro de orden 2 n . Cuando p es impar, tanto W (2) como E ( p , p ) son grupos irregulares de clase máxima y orden p p +1 , pero no son isomorfos.
Los subgrupos de Sylow de los grupos lineales generales son otra familia fundamental de ejemplos. Sea V un espacio vectorial de dimensión n con base { e 1 , e 2 , ..., e n } y definamos V i como el espacio vectorial generado por { e i , e i +1 , ..., e n } para 1 ≤ i ≤ n , y definamos V i = 0 cuando i > n . Para cada 1 ≤ m ≤ n , el conjunto de transformaciones lineales invertibles de V que llevan cada V i a V i + m forman un subgrupo de Aut( V ) denotado U m . Si V es un espacio vectorial sobre Z / p Z , entonces U 1 es un p -subgrupo de Sylow de Aut( V ) = GL( n , p ), y los términos de su serie central inferior son simplemente U m . En términos de matrices, U m son aquellas matrices triangulares superiores con 1 en la diagonal y 0 en las primeras m −1 superdiagonales. El grupo U 1 tiene orden p n ·( n −1)/2 , clase de nilpotencia n y exponente p k donde k es el menor entero al menos tan grande como el logaritmo de base p de n .
Los grupos de orden p n para 0 ≤ n ≤ 4 fueron clasificados en las primeras etapas de la historia de la teoría de grupos, [2] y los trabajos modernos han extendido estas clasificaciones a grupos cuyo orden divide a p 7 , aunque la gran cantidad de familias de tales grupos crece tan rápidamente que se considera que otras clasificaciones en este sentido son difíciles de comprender para la mente humana. [3] Por ejemplo, Marshall Hall Jr. y James K. Senior clasificaron grupos de orden 2 n para n ≤ 6 en 1964. [4]
En lugar de clasificar los grupos por orden, Philip Hall propuso utilizar una noción de isoclinismo de grupos que reunía p -grupos finitos en familias basadas en cocientes y subgrupos grandes. [5]
Un método completamente diferente clasifica los p -grupos finitos por su coclase , es decir, la diferencia entre su longitud de composición y su clase de nilpotencia . Las llamadas conjeturas de coclase describieron el conjunto de todos los p -grupos finitos de coclase fija como perturbaciones de un número finito de grupos pro-p . Las conjeturas de coclase se demostraron en la década de 1980 utilizando técnicas relacionadas con las álgebras de Lie y los p-grupos potentes . [6] Las demostraciones finales de los teoremas de coclase se deben a A. Shalev e independientemente a CR Leedham-Green, ambos en 1994. Admiten una clasificación de p -grupos finitos en grafos de coclase dirigidos que consisten solo en un número finito de árboles de coclase cuyos (infinitos) miembros se caracterizan por un número finito de presentaciones parametrizadas.
Todo grupo de orden p 5 es metabeliano . [7]
El grupo trivial es el único grupo de orden uno, y el grupo cíclico C p es el único grupo de orden p . Hay exactamente dos grupos de orden p 2 , ambos abelianos, a saber, C p 2 y C p × C p . Por ejemplo, el grupo cíclico C 4 y el cuatrigrupo de Klein V 4 que es C 2 × C 2 son ambos 2-grupos de orden 4.
Hay tres grupos abelianos de orden p 3 , a saber: C p 3 , C p 2 × C p y C p × C p × C p . También hay dos grupos no abelianos.
Para p ≠ 2, uno es un producto semidirecto de C p × C p por C p , y el otro es un producto semidirecto de C p 2 por C p . El primero se puede describir en otros términos como el grupo UT(3, p ) de matrices unitarias sobre un cuerpo finito con p elementos, también llamado grupo de Heisenberg mod p .
Para p = 2, ambos productos semidirectos mencionados anteriormente son isomorfos al grupo diedro Dih 4 de orden 8. El otro grupo no abeliano de orden 8 es el grupo cuaterniones Q 8 .
El número de clases de isomorfismo de grupos de orden p n crece a medida que , y estas están dominadas por las clases que son nilpotentes en dos pasos. [8] Debido a este rápido crecimiento, existe una conjetura popular que afirma que casi todos los grupos finitos son 2-grupos: se piensa que la fracción de clases de isomorfismo de 2-grupos entre las clases de isomorfismo de grupos de orden como máximo n tiende a 1 cuando n tiende a infinito. Por ejemplo, de los 49 910 529 484 grupos diferentes de orden como máximo 2000, 49 487 367 289 , o un poco más del 99%, son 2-grupos de orden 1024. [9]
Todo grupo finito cuyo orden es divisible por p contiene un subgrupo que es un p -grupo no trivial , es decir, un grupo cíclico de orden p generado por un elemento de orden p obtenido a partir del teorema de Cauchy . De hecho, contiene un p -grupo de máximo orden posible: si donde p no divide a m, entonces G tiene un subgrupo P de orden llamado p -subgrupo de Sylow. Este subgrupo no necesita ser único, pero cualquier subgrupo de este orden es conjugado, y cualquier p -subgrupo de G está contenido en un p -subgrupo de Sylow. Esta y otras propiedades se demuestran en los teoremas de Sylow .
Los p -grupos son herramientas fundamentales para entender la estructura de los grupos y en la clasificación de grupos simples finitos . Los p -grupos surgen tanto como subgrupos como grupos cociente. Como subgrupos, para un primo dado p se tienen los p -subgrupos P de Sylow ( el p -subgrupo más grande no único sino todos conjugados) y el p -núcleo (el p -subgrupo normal más grande único ), y varios otros. Como cocientes, el p -grupo más grande cociente es el cociente de G por el p- subgrupo residual Estos grupos están relacionados (para diferentes primos), poseen propiedades importantes como el teorema del subgrupo focal y permiten determinar muchos aspectos de la estructura del grupo.
Gran parte de la estructura de un grupo finito se encuentra en la estructura de sus llamados subgrupos locales , los normalizadores de los p -subgrupos no idénticos . [10]
Los grandes subgrupos abelianos elementales de un grupo finito ejercen control sobre el grupo que se utilizó en la demostración del teorema de Feit-Thompson . Ciertas extensiones centrales de los grupos abelianos elementales, llamadas grupos extraespeciales, ayudan a describir la estructura de los grupos como si actuaran sobre espacios vectoriales simplécticos .
Richard Brauer clasificó todos los grupos cuyos subgrupos de Sylow 2 son el producto directo de dos grupos cíclicos de orden 4, y John Walter, Daniel Gorenstein , Helmut Bender, Michio Suzuki , George Glauberman y otros clasificaron aquellos grupos simples cuyos subgrupos de Sylow 2 eran abelianos, diedros, semidiédricos o cuaterniones.
