Oscurecimiento de las extremidades

Efecto óptico visto en los bordes de las estrellas desde la perspectiva de un astrónomo

Una imagen filtrada del Sol en luz visible, que muestra el efecto de oscurecimiento de la extremidad como una luminosidad más tenue hacia el borde o extremidad del disco solar. La imagen fue tomada durante el tránsito de Venus en 2012 (visto aquí como la mancha oscura en la parte superior derecha).

El oscurecimiento de las extremidades es un efecto óptico que se observa en las estrellas (incluido el Sol ) y los planetas, donde la parte central del disco parece más brillante que el borde o extremidad . ^[1] Su comprensión ofreció a los primeros astrónomos solares la oportunidad de construir modelos con tales gradientes. Esto impulsó el desarrollo de la teoría de la transferencia radiativa .

Teoría básica

Un caso idealizado de oscurecimiento de las extremidades. El límite exterior es el radio en el que los fotones emitidos por la estrella ya no son absorbidos. L es una distancia para la cual la profundidad óptica es la unidad. Los fotones de alta temperatura emitidos en A apenas escaparán de la estrella, al igual que los fotones de baja temperatura emitidos en B. Este dibujo no está a escala. Por ejemplo, para el Sol , L sería sólo unos pocos cientos de kilómetros.

La profundidad óptica , una medida de la opacidad de un objeto o parte de un objeto, se combina con gradientes de temperatura efectivos dentro de la estrella para producir un oscurecimiento de las extremidades. La luz vista es aproximadamente la integral de todas las emisiones a lo largo de la línea de visión modulada por la profundidad óptica hacia el espectador (es decir, 1/e veces la emisión a 1 profundidad óptica, 1/e ² veces la emisión a 2 profundidades ópticas, etc. ). Cerca del centro de la estrella, la profundidad óptica es efectivamente infinita, lo que provoca un brillo aproximadamente constante. Sin embargo, la profundidad óptica efectiva disminuye al aumentar el radio debido a la menor densidad del gas y a una línea de visión más corta a través de la estrella, lo que produce un oscurecimiento gradual, hasta que se vuelve cero en el borde aparente de la estrella.

La temperatura efectiva de la fotosfera también disminuye al aumentar la distancia desde el centro de la estrella. La radiación emitida por un gas es aproximadamente radiación de cuerpo negro , cuya intensidad es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura. Por lo tanto, incluso en direcciones de línea de visión donde la profundidad óptica es efectivamente infinita, la energía emitida proviene de partes más frías de la fotosfera, lo que resulta en que llegue menos energía total al espectador.

La temperatura en la atmósfera de una estrella no siempre disminuye al aumentar la altura. Para ciertas líneas espectrales , la profundidad óptica es mayor en regiones de temperatura creciente. En este escenario, se observa en cambio el fenómeno del "brillo de las extremidades". En el Sol, la existencia de una región de temperatura mínima significa que el brillo de las extremidades debería comenzar a dominar en longitudes de onda de radio o infrarrojo lejano . Por encima de la atmósfera inferior, y muy por encima de la región de temperatura mínima, el Sol está rodeado por la corona solar de millones de kelvin . Para la mayoría de las longitudes de onda, esta región es ópticamente delgada, es decir, tiene una profundidad óptica pequeña y, por lo tanto, debe iluminarse en sus extremidades si es esféricamente simétrica.

Cálculo del oscurecimiento de las extremidades.

Geometría de oscurecimiento de las extremidades. La estrella está centrada en O   y tiene  radio R. El observador está en el punto P,   a una distancia r   del centro de la estrella, y mira el punto S   en la superficie de la estrella. Desde el punto de vista del observador, S   forma un ángulo θ desde una línea que pasa por el centro de la estrella, y el borde o rama de la estrella forma un ángulo Ω.

En la figura que se muestra aquí, mientras el observador en el punto P esté fuera de la atmósfera estelar, la intensidad vista en la dirección θ será función únicamente del ángulo de incidencia ψ . Esto se aproxima más convenientemente como un polinomio en cos  ψ :

$${\displaystyle {\frac {I(\psi )}{I(0)}}=\sum _{k=0}^{N}a_{k}\cos ^{k}\psi ,}$$

I ( ψ )ψI (0)ψ = 0

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N}a_{k}=1.}$$

Por ejemplo, para un radiador lambertiano (sin oscurecimiento de las extremidades) tendremos todo a _k = 0 excepto a ₁ = 1 . Como otro ejemplo, para el Sol a 550 nanómetros (5,5 × 10 ⁻⁷  m), el oscurecimiento de la extremidad está bien expresado ^[2] por N = 2 y

$${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=1-a_{1}-a_{2}=0.3,\\a_{1}&=0.93,\\a_{2}&=-0.23\end{aligned}}}$$

La ecuación para el oscurecimiento de las extremidades a veces se escribe más convenientemente como

$${\displaystyle {\frac {I(\psi )}{I(0)}}=1+\sum _{k=1}^{N}A_{k}(1-\cos \psi )^{k},}$$

NN + 1

Las constantes a _k se pueden relacionar con las constantes A _k . Para norte = 2 ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=-(a_{1}+2a_{2}),\\A_{2}&=a_{2}.\end{aligned}}}$$

Para el Sol a 550 nm, tenemos entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=-0.47,\\A_{2}&=-0.23.\end{aligned}}}$$

Este modelo da una intensidad en el borde del disco solar de sólo el 30% de la intensidad en el centro del disco.

Podemos convertir estas fórmulas a funciones de θ usando la sustitución

$${\displaystyle \cos \psi ={\frac {\sqrt {\cos ^{2}\theta -\cos ^{2}\Omega }}{\sin \Omega }}={\sqrt {1-\left({\frac {\sin \theta }{\sin \Omega }}\right)^{2}}},}$$

Ωθ

$${\displaystyle \cos \psi \approx {\sqrt {1-\left({\frac {\theta }{\sin \Omega }}\right)^{2}}}.}$$

Vemos que la derivada de cos ψ es infinita en la arista.

La aproximación anterior se puede utilizar para derivar una expresión analítica para la relación entre la intensidad media y la intensidad central. La intensidad media Im _es la integral de la intensidad sobre el disco de la estrella dividida por el ángulo sólido subtendido por el disco:

$${\displaystyle I_{m}={\frac {\int I(\psi )\,d\omega }{\int d\omega }},}$$

donde dω = sin  θ dθ dφ es un elemento de ángulo sólido y las integrales están sobre el disco: 0 ≤ φ ≤ 2 π y 0 ≤ θ ≤ Ω . Podemos reescribir esto como

$${\displaystyle I_{m}={\frac {\int _{\cos \Omega }^{1}I(\psi )\,d\cos \theta }{\int _{\cos \Omega }^{1}d\cos \theta }}={\frac {\int _{\cos \Omega }^{1}I(\psi )\,d\cos \theta }{1-\cos \Omega }}.}$$

Aunque esta ecuación puede resolverse analíticamente, es bastante engorrosa. Sin embargo, para un observador a una distancia infinita de la estrella, puede ser reemplazado por , por lo que tenemos ${\displaystyle d\cos \theta }$ ${\displaystyle \sin ^{2}\Omega \cos \psi \,d\cos \psi }$

$${\displaystyle I_{m}={\frac {\int _{0}^{1}I(\psi )\cos \psi \,d\cos \psi }{\int _{0}^{1}\cos \psi \,d\cos \psi }}=2\int _{0}^{1}I(\psi )\cos \psi \,d\cos \psi ,}$$

$${\displaystyle {\frac {I_{m}}{I(0)}}=2\sum _{k=0}^{N}{\frac {a_{k}}{k+2}}.}$$

Para el Sol a 550 nm, esto dice que la intensidad promedio es el 80,5% de la intensidad en el centro.

Referencias

1. Ronda, Daniel (2003). "Oscurecimiento de las extremidades". En Gargaud, Muriel; Amils, Ricardo; Quintanilla, José Cernicharo; Cleaves, Henderson James; Irvine, William M.; Pinti, Daniele L.; Viso, Michel (eds.). Enciclopedia de Astrobiología. Berlín, Heidelberg: Springer. págs. 925–926. doi :10.1007/978-3-642-11274-4_885. ISBN 978-3-642-11271-3.
2. Cox, Arthur N., ed. (2000). Cantidades astrofísicas de Allen (14ª ed.). Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-98746-0.

• Billings, Donald E. (1966). Una guía de la corona solar . Prensa académica, Nueva York.
• Milne, EA (1921). "Equilibrio radiativo en las capas exteriores de una estrella: la distribución de temperatura y la ley del oscurecimiento". MNRAS . 81 (5): 361–375. Código Bib : 1921MNRAS..81..361M . doi : 10.1093/mnras/81.5.361 – vía Zenodo.
• Minnaert, M. (1930). "Sobre el espectro continuo de la corona y su polarización". Zeitschrift für Astrophysik . 1 : 209. Bibcode : 1930ZA......1..209M - vía NASA/ADS.
• Neckel, H.; Laboratorios, D. (1994). "Oscurecimiento de las extremidades solares 1986-1990". Física Solar . 153 (1–2): 91–114. Código Bib : 1994SoPh..153...91N . doi :10.1007/BF00712494. S2CID  119704650 – vía NASA/ADS.
• van de Hulst; HC (1950). "La densidad electrónica de la corona solar". Boletín de los Institutos Astronómicos de los Países Bajos . 11 (410): 135. Código bibliográfico : 1950BAN....11..135V.
• Mariska, Juan (1993). La Región de Transición Solar . Prensa de la Universidad de Cambridge, Cambridge. ISBN 0521382610.
• Steiner, O. (2007). "Procesos fotosféricos y tubos de flujo magnético". Actas de la conferencia AIP . 919 : 74-121. arXiv : 0709.0081 . Código Bib : 2007AIPC..919...74S. doi : 10.1063/1.2756784. S2CID  16932214.