Oscurecimiento de las extremidades

Efecto óptico visto en los bordes de las estrellas desde la perspectiva de un astrónomo

Imagen filtrada del Sol en luz visible, que muestra el efecto de oscurecimiento del limbo como una luminosidad más tenue hacia el borde o el limbo del disco solar. La imagen se tomó durante el tránsito de Venus en 2012 (que se ve aquí como la mancha oscura en la parte superior derecha).

El oscurecimiento del limbo es un efecto óptico que se observa en las estrellas (incluido el Sol ) y los planetas, en el que la parte central del disco parece más brillante que el borde, o limbo . ^[1] Su comprensión ofreció a los primeros astrónomos solares la oportunidad de construir modelos con tales gradientes. Esto alentó el desarrollo de la teoría de la transferencia radiativa .

Teoría básica

Un caso idealizado de oscurecimiento del limbo. El límite exterior es el radio en el que los fotones emitidos desde la estrella ya no se absorben. L es una distancia para la cual la profundidad óptica es la unidad. Los fotones de alta temperatura emitidos en A apenas escaparán de la estrella, al igual que los fotones de baja temperatura emitidos en B. Este dibujo no está a escala. Por ejemplo, para el Sol , L sería solo unos pocos cientos de kilómetros.

La profundidad óptica , una medida de la opacidad de un objeto o parte de un objeto, se combina con gradientes de temperatura efectivos dentro de la estrella para producir un oscurecimiento del borde. La luz observada es aproximadamente la integral de toda la emisión a lo largo de la línea de visión modulada por la profundidad óptica hacia el observador (es decir, 1/e veces la emisión a 1 profundidad óptica, 1/e ² veces la emisión a 2 profundidades ópticas, etc.). Cerca del centro de la estrella, la profundidad óptica es efectivamente infinita, lo que provoca un brillo aproximadamente constante. Sin embargo, la profundidad óptica efectiva disminuye con el aumento del radio debido a una menor densidad de gas y una distancia de línea de visión más corta a través de la estrella, lo que produce un oscurecimiento gradual, hasta que se vuelve cero en el borde aparente de la estrella.

La temperatura efectiva de la fotosfera también disminuye a medida que aumenta la distancia desde el centro de la estrella. La radiación emitida por un gas es aproximadamente la radiación de cuerpo negro , cuya intensidad es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura. Por lo tanto, incluso en direcciones de línea de visión donde la profundidad óptica es efectivamente infinita, la energía emitida proviene de partes más frías de la fotosfera, lo que da como resultado que llegue menos energía total al observador.

La temperatura en la atmósfera de una estrella no siempre disminuye con el aumento de la altura. Para ciertas líneas espectrales , la profundidad óptica es mayor en regiones de temperatura creciente. En este escenario, se observa en cambio el fenómeno del "brillo del limbo". En el Sol, la existencia de una región de temperatura mínima significa que el brillo del limbo debería comenzar a dominar en longitudes de onda de radio o infrarrojo lejano . Por encima de la atmósfera inferior, y muy por encima de la región de temperatura mínima, el Sol está rodeado por la corona solar de un millón de kelvin . Para la mayoría de las longitudes de onda, esta región es ópticamente delgada, es decir, tiene una profundidad óptica pequeña y, por lo tanto, debe ser iluminada por el limbo si es esféricamente simétrica.

Cálculo del oscurecimiento de las extremidades

Geometría de oscurecimiento del limbo. La estrella está centrada en O   y tiene un radio R.  El observador está en el punto P   a una distancia r   del centro de la estrella y mira al punto S   en la superficie de la estrella. Desde el punto de vista del observador, S   está en un ángulo θ con respecto a una línea que pasa por el centro de la estrella y el borde o limbo de la estrella está en un ángulo Ω.

En la figura que se muestra aquí, siempre que el observador en el punto P esté fuera de la atmósfera estelar, la intensidad vista en la dirección θ será una función únicamente del ángulo de incidencia ψ . Esto se aproxima más convenientemente como un polinomio en cos  ψ : donde I ( ψ ) es la intensidad vista en P a lo largo de una línea de visión que forma un ángulo ψ con respecto al radio estelar, e I (0) es la intensidad central. Para que la relación sea la unidad para ψ = 0 , debemos tener $${\displaystyle {\frac {I(\psi )}{I(0)}}=\sum _{k=0}^{N}a_{k}\cos ^{k}\psi ,}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{N}a_{k}=1.}$$

Por ejemplo, para un radiador lambertiano (sin oscurecimiento del limbo) tendremos todos los a _k = 0 excepto a ₁ = 1. Como otro ejemplo, para el Sol a 550 nanómetros (5,5 × 10 ⁻⁷  m), el oscurecimiento del limbo se expresa bien ^[2] por N = 2 y $${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}&=1-a_{1}-a_{2}=0.3,\\a_{1}&=0.93,\\a_{2}&=-0.23\end{aligned}}}$$

La ecuación para el oscurecimiento de las extremidades a veces se escribe de manera más conveniente como que ahora tiene N coeficientes independientes en lugar de N + 1 coeficientes que deben sumar la unidad. $${\displaystyle {\frac {I(\psi )}{I(0)}}=1+\sum _{k=1}^{N}A_{k}(1-\cos \psi )^{k},}$$

Las constantes a _k se pueden relacionar con las constantes A _k . Para N = 2 , $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=-(a_{1}+2a_{2}),\\A_{2}&=a_{2}.\end{aligned}}}$$

Para el Sol a 550 nm, tenemos entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=-0.47,\\A_{2}&=-0.23.\end{aligned}}}$$

Este modelo da una intensidad en el borde del disco solar de sólo el 30% de la intensidad en el centro del disco.

Podemos convertir estas fórmulas en funciones de θ mediante la sustitución donde Ω es el ángulo desde el observador hasta el borde de la estrella. Para valores pequeños de θ tenemos $${\displaystyle \cos \psi ={\frac {\sqrt {\cos ^{2}\theta -\cos ^{2}\Omega }}{\sin \Omega }}={\sqrt {1-\left({\frac {\sin \theta }{\sin \Omega }}\right)^{2}}},}$$ $${\displaystyle \cos \psi \approx {\sqrt {1-\left({\frac {\theta }{\sin \Omega }}\right)^{2}}}.}$$

Vemos que la derivada de cos ψ es infinita en el borde.

La aproximación anterior se puede utilizar para derivar una expresión analítica para la relación entre la intensidad media y la intensidad central. La intensidad media _Im es la integral de la intensidad sobre el disco de la estrella dividida por el ángulo sólido subtendido por el disco: $${\displaystyle I_{m}={\frac {\int I(\psi )\,d\omega }{\int d\omega }},}$$

donde dω = sen  θ dθ dφ es un elemento de ángulo sólido, y las integrales son sobre el disco: 0 ≤ φ ≤ 2 π y 0 ≤ θ ≤ Ω . Podemos reescribir esto como $${\displaystyle I_{m}={\frac {\int _{\cos \Omega }^{1}I(\psi )\,d\cos \theta }{\int _{\cos \Omega }^{1}d\cos \theta }}={\frac {\int _{\cos \Omega }^{1}I(\psi )\,d\cos \theta }{1-\cos \Omega }}.}$$

Aunque esta ecuación se puede resolver analíticamente, es bastante engorrosa. Sin embargo, para un observador a una distancia infinita de la estrella, se puede reemplazar por , por lo que tenemos que da ${\displaystyle d\cos \theta }$ ${\displaystyle \sin ^{2}\Omega \cos \psi \,d\cos \psi }$ $${\displaystyle I_{m}={\frac {\int _{0}^{1}I(\psi )\cos \psi \,d\cos \psi }{\int _{0}^{1}\cos \psi \,d\cos \psi }}=2\int _{0}^{1}I(\psi )\cos \psi \,d\cos \psi ,}$$ $${\displaystyle {\frac {I_{m}}{I(0)}}=2\sum _{k=0}^{N}{\frac {a_{k}}{k+2}}.}$$

Para el Sol a 550 nm, esto dice que la intensidad promedio es el 80,5% de la intensidad en el centro.

Referencias

1. Roun, Daniel (2003). "Oscurecimiento de las extremidades". En Gargaud, Muriel; Amils, Ricardo; Quintanilla, José Cernicharo; Cleaves, Henderson James; Irvine, William M.; Pinti, Daniele L.; Viso, Michel (eds.). Enciclopedia de Astrobiología. Berlín, Heidelberg: Springer. págs. 925–926. doi :10.1007/978-3-642-11274-4_885. ISBN 978-3-642-11271-3.
2. Cox, Arthur N., ed. (2000). Allen's Astrophysical Quantities (14.ª ed.). Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-98746-0.

• Billings, Donald E. (1966). Una guía sobre la corona solar . Academic Press, Nueva York.
• Milne, EA (1921). "Equilibrio radiativo en las capas externas de una estrella: la distribución de la temperatura y la ley del oscurecimiento". MNRAS . 81 (5): 361–375. Bibcode : 1921MNRAS..81..361M . doi : 10.1093/mnras/81.5.361 – vía Zenodo.
• Minnaert, M. (1930). "Sobre el espectro continuo de la corona y su polarización". Zeitschrift für Astrophysik . 1 : 209. Bibcode : 1930ZA......1..209M - vía NASA/ADS.
• Neckel, H.; Labs, D. (1994). "Oscurecimiento del limbo solar 1986-1990". Física solar . 153 (1–2): 91–114. Código Bibliográfico : 1994SoPh..153...91N . doi :10.1007/BF00712494. S2CID  119704650 – vía NASA/ADS.
• van de Hulst; HC (1950). "La densidad electrónica de la corona solar". Boletín de los Institutos Astronómicos de los Países Bajos . 11 (410): 135. Bibcode :1950BAN....11..135V.
• Mariska, John (1993). La región de transición solar . Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0521382610.
• Steiner, O. (2007). "Procesos fotoesféricos y tubos de flujo magnético". Actas de la conferencia AIP . 919 : 74–121. arXiv : 0709.0081 . Código Bibliográfico :2007AIPC..919...74S. doi :10.1063/1.2756784. S2CID  16932214.