Oscilador Toda

En física , el oscilador de Toda es un tipo especial de oscilador no lineal. Representa una cadena de partículas con interacción potencial exponencial entre vecinas. ^[1] Estos conceptos reciben su nombre de Morikazu Toda . El oscilador de Toda se utiliza como un modelo simple para comprender el fenómeno de la autopulsación , que es una pulsación cuasiperiódica de la intensidad de salida de un láser de estado sólido en el régimen transitorio.

Definición

El oscilador de Toda es un sistema dinámico de cualquier origen, que puede describirse con coordenadas dependientes y coordenadas independientes , caracterizado porque la evolución a lo largo de las coordenadas independientes puede aproximarse con la ecuación ${\displaystyle ~x~}$ ${\displaystyle ~z~}$ ${\displaystyle ~z~}$

${\displaystyle {\frac {{\rm {d^{2}}}x}{{\rm {d}}z^{2}}}+D(x){\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}z}}+\Phi '(x)=0,}$

donde , y primo denota la derivada. ${\displaystyle ~D(x)=ue^{x}+v~}$ ${\displaystyle ~\Phi (x)=e^{x}-x-1~}$

Significado físico

La coordenada independiente tiene sentido del tiempo . De hecho, puede ser proporcional al tiempo con alguna relación como , donde es constante. ${\displaystyle ~z~}$ ${\displaystyle ~t~}$ ${\displaystyle ~z=t/t_{0}~}$ ${\displaystyle ~t_{0}~}$

La derivada puede tener sentido de velocidad de partícula con coordenada ; entonces puede interpretarse como aceleración ; y la masa de dicha partícula es igual a la unidad. ${\displaystyle ~{\dot {x}}={\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}z}}}$ ${\displaystyle ~x~}$ ${\displaystyle ~{\ddot {x}}={\frac {{\rm {d}}^{2}x}{{\rm {d}}z^{2}}}~}$

La función disipativa puede tener sentido de coeficiente de fricción proporcional a la velocidad . ${\displaystyle ~D~}$

Generalmente, se supone que ambos parámetros y son positivos; entonces, este coeficiente de fricción proporcional a la velocidad crece exponencialmente en valores positivos grandes de la coordenada . ${\displaystyle ~u~}$ ${\displaystyle ~v~}$ ${\displaystyle ~x~}$

El potencial es una función fija, que también muestra un crecimiento exponencial en valores positivos grandes de la coordenada . ${\displaystyle ~\Phi (x)=e^{x}-x-1~}$ ${\displaystyle ~x~}$

En la aplicación de la física láser , puede tener sentido el logaritmo del número de fotones en la cavidad láser , relacionado con su valor en estado estable. Entonces, la potencia de salida de dicho láser es proporcional a y puede mostrar pulsación en la oscilación de . ${\displaystyle ~x~}$ ${\displaystyle ~\exp(x)~}$ ${\displaystyle ~x~}$

Ambas analogías, con una partícula de masa unitaria y un logaritmo del número de fotones, son útiles en el análisis del comportamiento del oscilador de Toda.

Energía

En rigor, la oscilación es periódica sólo en . De hecho, en la realización del oscilador de Toda como láser autopulsante, estos parámetros pueden tener valores del orden de ; durante varios pulsos, la amplitud de pulsación no cambia mucho. En este caso, podemos hablar de período de pulsación, ya que la función es casi periódica. ${\displaystyle ~u=v=0~}$ ${\displaystyle ~10^{-4}~}$ ${\displaystyle ~x=x(t)~}$

En el caso , la energía del oscilador no depende de , y puede tratarse como una constante de movimiento. Entonces, durante un período de pulsación, la relación entre y puede expresarse analíticamente: ^{[2] [3]} ${\displaystyle ~u=v=0~}$ ${\displaystyle ~E={\frac {1}{2}}\left({\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}z}}\right)^{2}+\Phi (x)~}$ ${\displaystyle ~z~}$ ${\displaystyle ~x~}$ ${\displaystyle ~z~}$

${\displaystyle z=\pm \int _{x_{\min }}^{x_{\max }}\!\!{\frac {{\rm {d}}a}{{\sqrt {2}}{\sqrt {E-\Phi (a)}}}}}$

donde y son valores mínimos y máximos de ; esta solución está escrita para el caso cuando . ${\displaystyle ~x_{\min }~}$ ${\displaystyle ~x_{\max }~}$ ${\displaystyle ~x~}$ ${\displaystyle {\dot {x}}(0)=0}$

Sin embargo, se pueden obtener otras soluciones utilizando el principio de invariancia traslacional .

La razón es un parámetro conveniente para caracterizar la amplitud de la pulsación. Con esto, podemos expresar el valor mediano como ; y la energía también es una función elemental de . ${\displaystyle ~x_{\max }/x_{\min }=2\gamma ~}$ ${\displaystyle \delta ={\frac {x_{\max }-x_{\min }}{1}}}$ ${\displaystyle \delta =\ln {\frac {\sin(\gamma )}{\gamma }}}$ ${\displaystyle E=E(\gamma )={\frac {\gamma }{\tanh(\gamma )}}+\ln {\frac {\sinh \gamma }{\gamma }}-1}$ ${\displaystyle ~\gamma ~}$

En la aplicación, la cantidad no necesita ser la energía física del sistema; en estos casos, esta cantidad adimensional puede llamarse cuasienergía. ${\displaystyle E}$

Periodo de pulsación

El período de pulsación es una función creciente de la amplitud . ${\displaystyle ~\gamma ~}$

Cuando , el periodo ${\displaystyle ~\gamma \ll 1~}$ ${\displaystyle ~T(\gamma )=2\pi \left(1+{\frac {\gamma ^{2}}{24}}+O(\gamma ^{4})\right)~}$

Cuando , el periodo ${\displaystyle ~\gamma \gg 1~}$ ${\displaystyle ~T(\gamma )=4\gamma ^{1/2}\left(1+O(1/\gamma )\right)~}$

En todo el rango , el período y la frecuencia se pueden aproximar mediante ${\displaystyle ~\gamma >0~}$ ${\displaystyle ~{T(\gamma )}~}$ ${\displaystyle ~k(\gamma )={\frac {2\pi }{T(\gamma )}}~}$

${\displaystyle k_{\text{fit}}(\gamma )={\frac {2\pi }{T_{\text{fit}}(\gamma )}}=}$

${\displaystyle \left({\frac {10630+674\gamma +695.2419\gamma ^{2}+191.4489\gamma ^{3}+16.86221\gamma ^{4}+4.082607\gamma ^{5}+\gamma ^{6}}{10630+674\gamma +2467\gamma ^{2}+303.2428\gamma ^{3}+164.6842\gamma ^{4}+36.6434\gamma ^{5}+3.9596\gamma ^{6}+0.8983\gamma ^{7}+{\frac {16}{\pi ^{4}}}\gamma ^{8}}}\right)^{1/4}}$

hasta al menos 8 cifras significativas . El error relativo de esta aproximación no excede . ${\displaystyle 22\times 10^{-9}}$

Decaimiento de la pulsación

En valores pequeños (pero aún positivos) de y , la pulsación decae lentamente, y esta decaimiento puede describirse analíticamente. En la primera aproximación, los parámetros y dan contribuciones aditivas al decaimiento; la tasa de decaimiento, así como la amplitud y fase de la oscilación no lineal, pueden aproximarse con funciones elementales de una manera similar al período anterior. Al describir el comportamiento del oscilador Toda idealizado, el error de tales aproximaciones es menor que las diferencias entre el ideal y su realización experimental como un láser autopulsante en el banco óptico . Sin embargo, un láser autopulsante muestra un comportamiento cualitativamente muy similar. ^[3] ${\displaystyle ~u~}$ ${\displaystyle ~v~}$ ${\displaystyle ~u~}$ ${\displaystyle ~v~}$

Límite continuo

Las ecuaciones de movimiento de la cadena de Toda , en el límite continuo en el que la distancia entre vecinos tiende a cero, se convierten en la ecuación de Korteweg-de Vries (KdV). ^[1] Aquí el índice que etiqueta la partícula en la cadena se convierte en la nueva coordenada espacial.

En cambio, la teoría de campos de Toda se logra introduciendo una nueva coordenada espacial que es independiente de la etiqueta del índice de la cadena. Esto se hace de una manera relativista e invariante, de modo que el tiempo y el espacio se tratan en igualdad de condiciones. ^[4] Esto significa que la teoría de campos de Toda no es un límite continuo de la cadena de Toda.

Referencias

1. Toda, M. (1975). "Estudios de una red no lineal". Physics Reports . 18 (1): 1. Bibcode :1975PhR....18....1T. doi :10.1016/0370-1573(75)90018-6.
2. Opo, GL; Politi, A. (1985). "Toda el potencial en ecuaciones láser". Zeitschrift für Physik B. 59 (1): 111-115. Código bibliográfico : 1985ZPhyB..59..111O. doi :10.1007/BF01325388. S2CID  119657810.
3. Kouznetsov, D.; Bisson, J.-F.; Li, J.; Ueda, K. (2007). "Láser autopulsado como oscilador de Toda: aproximación a través de funciones elementales". Journal of Physics A . 40 (9): 1–18. Bibcode :2007JPhA...40.2107K. CiteSeerX 10.1.1.535.5379 . doi :10.1088/1751-8113/40/9/016. S2CID  53330023. 
4. Kashaev, R.-M.; Reshetikhin, N. (1997). "Teoría de campos afín de Toda como un sistema integrable tridimensional". Communications in Mathematical Physics . 188 (2): 251–266. arXiv : hep-th/9507065 . Código Bibliográfico :1997CMaPh.188..251K. doi :10.1007/s002200050164. S2CID  17196702.