Oscilación de vacío Rabi

Oscilación amortiguada en óptica cuántica

Una oscilación de Rabi en el vacío es una oscilación amortiguada de un átomo inicialmente excitado acoplado a un resonador o cavidad electromagnética en la que el átomo emite alternativamente fotones en una cavidad electromagnética monomodo y los reabsorbe. El átomo interactúa con un campo monomodo confinado a un volumen limitado V en una cavidad óptica. ^{[1] [2] [3]} La emisión espontánea es una consecuencia del acoplamiento entre el átomo y las fluctuaciones de vacío del campo de la cavidad.

Tratamiento matemático

Una descripción matemática de la oscilación de Rabi en el vacío comienza con el modelo de Jaynes-Cummings , que describe la interacción entre un modo único de un campo cuantificado y un sistema de dos niveles dentro de una cavidad óptica . El hamiltoniano para este modelo en la aproximación de onda giratoria es

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\hbar \omega _{0}{\frac {{\hat {\sigma }}_{z}}{2}}+\hbar g\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{-}\right)}$

¿Dónde está el operador de espín de Pauli z para los dos estados propios y del sistema aislado de dos niveles separados en energía por ? y son los operadores de subida y bajada del sistema de dos niveles; y son los operadores de creación y aniquilación de fotones de energía en el modo cavidad; y ${\displaystyle {\hat {\sigma _{z}}}}$ ${\displaystyle |e\rangle }$ ${\displaystyle |g\rangle }$ ${\displaystyle \hbar \omega _{0}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{+}=|e\rangle \langle g|}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{-}=|g\rangle \langle e|}$ ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ ${\displaystyle {\hat {a}}}$ ${\displaystyle \hbar \omega }$

${\displaystyle g={\frac {\mathbf {d} \cdot {\hat {\mathcal {E}}}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {\hbar \omega }{2\epsilon _{0}V}}}}$

es la fuerza del acoplamiento entre el momento dipolar del sistema de dos niveles y el modo de cavidad con el volumen y el campo eléctrico polarizados a lo largo . ^[4] Los valores propios y estados propios de energía para este modelo son ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\hat {\mathcal {E}}}}$

${\displaystyle E_{\pm }(n)=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pm {\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}=\hbar \omega _{n}^{\pm }}$

${\displaystyle |n,+\rangle =\cos \left(\theta _{n}\right)|g,n+1\rangle +\sin \left(\theta _{n}\right)|e,n\rangle }$

${\displaystyle |n,-\rangle =\sin \left(\theta _{n}\right)|g,n+1\rangle -\cos \left(\theta _{n}\right)|e,n\rangle }$

donde está la desafinación , y el ángulo se define como ${\displaystyle \delta =\omega _{0}-\omega }$ ${\displaystyle \theta _{n}}$

${\displaystyle \theta _{n}=\tan ^{-1}\left({\frac {g{\sqrt {n+1}}}{\delta }}\right).}$

Dados los estados propios del sistema, el operador de evolución temporal se puede escribir en la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }&=\sum _{|n,\pm \rangle }\sum _{|n',\pm \rangle }|n,\pm \rangle \langle n,\pm |e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|n',\pm \rangle \langle n',\pm |\\&=~e^{i(\omega -{\frac {\omega _{0}}{2}})t}|g,0\rangle \langle g,0|\\&~~~+\sum _{n=0}^{\infty }{e^{-i\omega _{n}^{+}t}(\cos {\theta _{n}}|g,n+1\rangle +\sin {\theta _{n}}|e,n\rangle )(\cos {\theta _{n}}\langle g,n+1|+\sin {\theta _{n}}\langle e,n|)}\\&~~~+\sum _{n=0}^{\infty }{e^{-i\omega _{n}^{-}t}(-\sin {\theta _{n}}|g,n+1\rangle +\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )(-\sin {\theta _{n}}\langle g,n+1|+\cos {\theta _{n}}\langle e,n|)}\\\end{aligned}}.}$

Si el sistema comienza en el estado donde el átomo está en el estado fundamental del sistema de dos niveles y hay fotones en el modo de cavidad, la aplicación del operador de evolución temporal produce ${\displaystyle |g,n+1\rangle }$ ${\displaystyle n+1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|g,n+1\rangle &=(e^{-i\omega _{n}^{+}t}(\cos ^{2}{(\theta _{n})}|g,n+1\rangle +\sin {\theta _{n}}\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )+e^{-i\omega _{n}^{-}t}(-\sin ^{2}{(\theta _{n})}|g,n+1\rangle -\sin {\theta _{n}}\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )\\&=(e^{-i\omega _{n}^{+}t}+e^{-i\omega _{n}^{-}t})\cos {(2\theta _{n})}|g,n+1\rangle +(e^{-i\omega _{n}^{+}t}-e^{-i\omega _{n}^{-}t})\sin {(2\theta _{n})}|e,n\rangle \\&=e^{-i\omega _{c}(n+{\frac {1}{2}})}{\Biggr [}\cos {{\biggr (}{\frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr [}{\frac {\delta ^{2}-4g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}|g,n+1\rangle +\sin {{\biggr (}{\frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr [}{\frac {8\delta ^{2}g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}|e,n\rangle {\Biggr ]}\end{aligned}}.}$

La probabilidad de que el sistema de dos niveles esté en estado excitado en función del tiempo es entonces ${\displaystyle |e,n\rangle }$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}(t)&=|\langle e,n|e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar }|g,n+1\rangle |^{2}\\&=\sin ^{2}{{\biggr (}{\frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr [}{\frac {8\delta ^{2}g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}\\&={\frac {4g^{2}(n+1)}{\Omega _{n}^{2}}}\sin ^{2}{{\bigr (}{\frac {\Omega _{n}t}{2}}{\bigr )}}\end{aligned}}}$

donde se identifica como la frecuencia Rabi . Para el caso de que no exista campo eléctrico en la cavidad, es decir, el número de fotones sea cero, la frecuencia de Rabi pasa a ser . Entonces, la probabilidad de que el sistema de dos niveles pase de su estado fundamental a su estado excitado en función del tiempo es ${\displaystyle \Omega _{n}={\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Omega _{0}={\sqrt {4g^{2}+\delta ^{2}}}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle P_{e}(t)={\frac {4g^{2}}{\Omega _{0}^{2}}}\sin ^{2}{{\bigr (}{\frac {\Omega _{0}t}{2}}{\bigr )}.}}$

Para una cavidad que admite un único modo perfectamente resonante con la diferencia de energía entre los dos niveles de energía, la desafinación desaparece y se convierte en una sinusoide cuadrada con amplitud y período unitarios. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle P_{e}(t)}$ ${\displaystyle {\frac {2\pi }{g}}.}$

Generalización a N átomos

La situación en la que dos sistemas de niveles están presentes en una cavidad monomodo se describe mediante el modelo de Tavis-Cummings ^[5] , que tiene hamiltoniano ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\hat {H}}_{\text{JC}}=\hbar \omega {\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+\sum _{j=1}^{N}{\hbar \omega _{0}{\frac {{\hat {\sigma }}_{j}^{z}}{2}}+\hbar g_{j}\left({\hat {a}}{\hat {\sigma }}_{j}^{+}+{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {\sigma }}_{j}^{-}\right)}.}$

Bajo el supuesto de que todos los sistemas de dos niveles tienen la misma fuerza de acoplamiento individual con el campo, el conjunto en su conjunto tendrá una fuerza de acoplamiento mejorada . Como resultado, la división de Rabi en vacío aumenta correspondientemente en un factor de . ^[6] ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{N}=g{\sqrt {N}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {N}}}$

Ver también

• Modelo de Jaynes-Cummings
• fluctuación cuántica
• ciclo rabi
• frecuencia rabi
• problema de rabi
• Emisión espontánea
• Isidor Isaac Rabi

Referencias y notas

1. Hiroyuki Yokoyama y Ujihara K (1995). Emisión espontánea y oscilación láser en microcavidades. Boca Ratón: CRC Press. pag. 6.ISBN​ 0-8493-3786-0.
2. Kerry Vahala (2004). Microcavidades ópticas. Singapur: World Scientific. pag. 368.ISBN​ 981-238-775-7.
3. Rodney Loudon (2000). La teoría cuántica de la luz. Oxford Reino Unido: Oxford University Press. pag. 172.ISBN​ 0-19-850177-3.
4. Marlan O. Scully, M. Suhail Zubairy (1997). Óptica Cuántica. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 5.ISBN​ 0521435951.
5. Schine, Nathan (2019). Física Cuántica de Salas con Fotones (Doctor). Universidad de Chicago.
6. Mark Fox (2006). Óptica cuántica: una introducción. Boca Ratón: OUP Oxford. pag. 208.ISBN​ 0198566735.