Orden cuántico protegido por localización

La localización de muchos cuerpos (MBL) es un fenómeno dinámico que conduce a la ruptura de la mecánica estadística del equilibrio en sistemas aislados de muchos cuerpos. Dichos sistemas nunca alcanzan el equilibrio térmico local y conservan la memoria local de sus condiciones iniciales durante tiempos infinitos. Aún se puede definir una noción de estructura de fases en estos sistemas fuera de equilibrio. Sorprendentemente, la MBL puede incluso permitir nuevos tipos de órdenes exóticos que no están permitidos en el equilibrio térmico, un fenómeno que se conoce con el nombre de orden cuántico protegido por localización (LPQO) u orden de estados propios. ^{[1] [2] [3] [4] [5]}

Fondo

El estudio de las fases de la materia y las transiciones entre ellas ha sido una tarea central en la física durante más de un siglo. Uno de los primeros paradigmas para dilucidar la estructura de las fases, asociado principalmente con Landau, clasifica las fases según la ruptura espontánea de las simetrías globales presentes en un sistema físico. Más recientemente, también hemos hecho grandes avances en la comprensión de las fases topológicas de la materia que se encuentran fuera del marco de Landau: el orden en las fases topológicas no puede caracterizarse por patrones locales de ruptura de simetría, sino que está codificado en patrones globales de entrelazamiento cuántico .

Todo este notable progreso se basa en la mecánica estadística del equilibrio. Las fases y las transiciones de fase solo están definidas con precisión para sistemas macroscópicos en el límite termodinámico, y la mecánica estadística nos permite hacer predicciones útiles sobre tales sistemas macroscópicos con muchas partículas constituyentes (~ 10 ²³ ). Un supuesto fundamental de la mecánica estadística es que los sistemas alcanzan genéricamente un estado de equilibrio térmico (como el estado de Gibbs) que puede caracterizarse solo por unos pocos parámetros como la temperatura o un potencial químico. Tradicionalmente, la estructura de fases se estudia examinando el comportamiento de los "parámetros de orden" en estados de equilibrio. A temperatura cero, estos se evalúan en el estado fundamental del sistema, y ​​las diferentes fases corresponden a diferentes órdenes cuánticos (topológicos o de otro tipo). El equilibrio térmico restringe fuertemente los órdenes permitidos a temperaturas finitas. En general, las fluctuaciones térmicas a temperaturas finitas reducen las correlaciones cuánticas de largo alcance presentes en las fases ordenadas y, en dimensiones inferiores, pueden destruir el orden por completo. Como ejemplo, los teoremas de Peierls-Mermin-Wagner prueban que un sistema unidimensional no puede romper espontáneamente una simetría continua a ninguna temperatura distinta de cero.

Los recientes avances en el fenómeno de la localización de muchos cuerpos han revelado clases de sistemas genéricos de muchos cuerpos (normalmente desordenados) que nunca alcanzan el equilibrio térmico local y, por tanto, quedan fuera del marco de la mecánica estadística del equilibrio. ^{[6] [7] [8] [9] [10] [11] [1]} Los sistemas MBL pueden experimentar una transición de fase dinámica a una fase termalizante a medida que se ajustan parámetros como el desorden o la fuerza de interacción, y la naturaleza de la transición de fase de MBL a térmica es un área activa de investigación. La existencia de MBL plantea la interesante cuestión de si es posible tener diferentes tipos de fases de MBL, así como hay diferentes tipos de fases termalizantes. Sorprendentemente, la respuesta es afirmativa, y los sistemas fuera de equilibrio también pueden mostrar una rica estructura de fases. Es más, la supresión de las fluctuaciones térmicas en sistemas localizados puede incluso permitir nuevos tipos de orden que están prohibidos en el equilibrio, que es la esencia del orden cuántico protegido por la localización. ^[1] El reciente descubrimiento de cristales de tiempo en sistemas MBL impulsados ​​periódicamente es un ejemplo notable de este fenómeno. ^{[12] [13] [14] [15] [16]}

Fases fuera de equilibrio: orden de estados propios

El estudio de la estructura de fases en sistemas localizados requiere que primero formulemos una noción precisa de una fase que se aleja del equilibrio térmico. Esto se hace a través de la noción de orden de estados propios : ^[1] uno puede medir parámetros de orden y funciones de correlación en estados propios de energía individuales de un sistema de muchos cuerpos, en lugar de promediar sobre varios estados propios como en un estado de Gibbs. El punto clave es que los estados propios individuales pueden mostrar patrones de orden que pueden ser invisibles para los promedios termodinámicos sobre estados propios. De hecho, un promedio termodinámico de conjunto ni siquiera es apropiado en sistemas MBL ya que nunca alcanzan el equilibrio térmico. Es más, aunque los estados propios individuales no son experimentalmente accesibles, el orden en los estados propios tiene, no obstante, firmas dinámicas mensurables . Las propiedades del espectro propio cambian de manera singular a medida que el sistema pasa de un tipo de fase MBL a otro, o de una fase MBL a una térmica, nuevamente con firmas dinámicas mensurables.

Al considerar el orden de los estados propios en sistemas MBL, generalmente se habla de estados propios altamente excitados a densidades de energía que corresponderían a temperaturas altas o infinitas si el sistema fuera capaz de termalizarse. En un sistema termalizante, la temperatura se define mediante donde la entropía se maximiza cerca de la mitad del espectro de muchos cuerpos (que corresponde a ) y se desvanece cerca de los bordes del espectro (que corresponde a ). Por lo tanto, los "estados propios de temperatura infinita" son aquellos extraídos de cerca de la mitad del espectro, y es más correcto referirse a densidades de energía en lugar de temperaturas, ya que la temperatura solo se define en equilibrio. En sistemas MBL, la supresión de fluctuaciones térmicas significa que las propiedades de los estados propios altamente excitados son similares, en muchos aspectos, a las de los estados fundamentales de los hamiltonianos locales con huecos. Esto permite que se promuevan varias formas de orden de estados fundamentales a densidades de energía finitas. ${\displaystyle T=\left({\frac {dS}{dE}}\right)^{-1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T=\infty }$ ${\displaystyle T=0^{\pm }}$

Observamos que en los sistemas MB termalizados, la noción de orden de estados propios es congruente con la definición habitual de fases. Esto se debe a que la hipótesis de termalización de estados propios (ETH) implica que los observables locales (como los parámetros de orden) calculados en estados propios individuales coinciden con los calculados en el estado de Gibbs a una temperatura apropiada para la densidad de energía del estado propio. Por otro lado, los sistemas MBL no obedecen a la ETH y los estados propios de muchos cuerpos cercanos tienen propiedades locales muy diferentes. Esto es lo que permite que los estados propios MBL individuales muestren orden incluso si los promedios termodinámicos tienen prohibido hacerlo.

Orden de ruptura de simetría protegida por localización

La localización permite romper órdenes de simetría en densidades de energía finitas, prohibidas en el equilibrio por los teoremas de Peierls-Mermin-Wagner.

Ilustremos esto con el ejemplo concreto de una cadena de Ising de campo transversal desordenado en una dimensión: ^{[17] [1] [2]}

${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{L}J_{i}\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z}+h_{i}\sigma _{i}^{x}+J_{\rm {int}}(\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+2}^{z}+\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z})}$

donde están los operadores de espín 1/2 de Pauli en una cadena de longitud , todos los acoplamientos son números aleatorios positivos extraídos de distribuciones con medias , y el sistema tiene simetría de Ising correspondiente a invertir todos los espines en la base. El término introduce interacciones, y el sistema se puede mapear a un modelo de fermiones libres (la cadena de Kitaev ) cuando . ${\displaystyle \sigma _{i}^{x/y/z}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \{J_{i},h_{i}\}}$ ${\displaystyle {\overline {J}},{\overline {h}}}$ ${\displaystyle P=\prod _{i}\sigma _{i}^{x}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle J_{\rm {int}}}$ ${\displaystyle J_{\rm {int}}=0}$

Cadena de Ising sin interacción: sin desorden

Fig. 1. Fases de una cadena de Ising (a) sin interacciones ni desorden, (b) con desorden pero sin interacciones y (c) con desorden e interacciones.

Consideremos primero el sistema limpio y sin interacción: . En equilibrio, el estado fundamental está ordenado ferromagnéticamente con espines alineados a lo largo del eje para , pero es un paramagnético para y a cualquier temperatura finita (Fig. 1a). En lo profundo de la fase ordenada, el sistema tiene dos estados fundamentales simétricos de Ising degenerados que parecen "gatos de Schrödinger" o estados de superposición: . Estos muestran un orden de largo alcance: ${\displaystyle J_{i}=J,\;h_{i}=h,\;J_{\rm {int}}=0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle J>h}$ ${\displaystyle J<h}$ ${\displaystyle |\psi _{0}^{\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\uparrow \uparrow \cdots \uparrow \rangle \pm |\downarrow \downarrow \cdots \downarrow \rangle )}$

${\displaystyle \lim _{|i-j|\rightarrow \infty }\lim _{L\rightarrow \infty }\langle \psi _{0}^{\pm }|\sigma _{i}^{z}\sigma _{j}^{z}|\psi _{0}^{\pm }\rangle -\langle \psi _{0}^{\pm }|\sigma _{i}^{z}|\psi _{0}^{\pm }\rangle \langle \psi _{0}^{\pm }|\sigma _{j}^{z}|\psi _{0}^{\pm }\rangle >0.}$

A cualquier temperatura finita, las fluctuaciones térmicas conducen a una densidad finita de paredes de dominio deslocalizadas, ya que la ganancia entrópica derivada de la creación de estas paredes de dominio supera el costo de energía en una dimensión. Estas fluctuaciones destruyen el orden de largo alcance, ya que la presencia de paredes de dominio fluctuantes destruye la correlación entre espines distantes.

Cadena de Ising desordenada y sin interacción

Al activar el desorden, las excitaciones en el modelo no interactuante ( ) se localizan debido a la localización de Anderson . En otras palabras, las paredes del dominio quedan fijadas por el desorden, de modo que un estado propio genérico altamente excitado para se parece a , donde se refiere al estado propio y el patrón depende del estado propio. ^{[1] [2]} Nótese que una función de correlación espín-espín evaluada en este estado no es cero para espines arbitrariamente distantes, pero tiene un signo fluctuante dependiendo de si se cruza un número par/impar de paredes de dominio entre dos sitios. Por lo tanto, decimos que el sistema tiene un orden de vidrio de espín (SG) de largo alcance. De hecho, para , la localización promueve el orden ferromagnético del estado fundamental al orden de vidrio de espín en estados altamente excitados en todas las densidades de energía (Fig. 1b). Si se hace un promedio sobre los estados propios como en el estado térmico de Gibbs, los signos fluctuantes hacen que la correlación se promedie como lo requiere el teorema de Peierls que prohíbe la ruptura de simetría de simetrías discretas a temperaturas finitas en 1D. Para , el sistema es paramagnético (PM), y los estados propios en lo profundo del PM parecen estados de producto en la base y no muestran un orden de Ising de largo alcance: . La transición entre el PM localizado y el SG localizado en pertenece a la clase de universalidad de aleatoriedad infinita. ^[17] ${\displaystyle J_{\rm {int}}=0}$ ${\displaystyle {\overline {J}}\gg {\overline {h}}}$ ${\displaystyle |\psi _{\rm {SG}}^{n,\pm }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|\uparrow \uparrow \downarrow \downarrow \downarrow \uparrow \uparrow \cdots \rangle \pm |\downarrow \downarrow \uparrow \uparrow \uparrow \downarrow \downarrow \cdots \rangle }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{\text{th}}}$ ${\displaystyle {\overline {J}}>{\overline {h}}}$ ${\displaystyle {\overline {J}}<{\overline {h}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |\psi _{\rm {PM}}^{n}\rangle =|\rightarrow \rightarrow \leftarrow \leftarrow \leftarrow \rightarrow \cdots \rangle }$ ${\displaystyle {\overline {J}}={\overline {h}}}$

Cadena de Ising interactuante desordenada

Al activarse las interacciones débiles , el aislante de Anderson permanece localizado en muchos cuerpos y el orden persiste en las fases profundas de PM/SG. Las interacciones lo suficientemente fuertes destruyen MBL y el sistema pasa a una fase termalizante. El destino de la transición de MBL PM a MBL SG en presencia de interacciones es actualmente incierto, y es probable que esta transición se realice a través de una fase térmica intermedia (Fig. 1c). ${\displaystyle J_{\rm {int}}\neq 0}$

Detección del orden de los estados propios: firmas mensurables

Si bien la discusión anterior se refiere a diagnósticos precisos de LPQO obtenidos mediante la evaluación de parámetros de orden y funciones de correlación en estados propios de muchos cuerpos altamente excitados, dichas cantidades son casi imposibles de medir experimentalmente. Sin embargo, aunque los estados propios individuales no son experimentalmente accesibles, el orden en los estados propios tiene firmas dinámicas mensurables. En otras palabras, medir un observable local físicamente accesible en el tiempo a partir de un estado inicial físicamente preparable aún contiene firmas precisas de orden de estados propios.

Por ejemplo, para la cadena de Ising desordenada analizada anteriormente, se pueden preparar estados iniciales aleatorios de simetría rota que son estados de producto en la base: . Estos estados elegidos aleatoriamente están a temperatura infinita. Luego, se puede medir la magnetización local en el tiempo, que actúa como un parámetro de orden para la ruptura de simetría. Es sencillo demostrar que se satura a un valor distinto de cero incluso para tiempos infinitamente tardíos en la fase de vidrio de espín con simetría rota, mientras que decae a cero en el paramagnético. La singularidad en las propiedades del espectro propio en la transición entre las fases SG y PM localizadas se traduce en una transición de fase dinámica aguda que es medible. De hecho, un buen ejemplo de esto lo proporcionan los experimentos recientes ^{[15] [16]} que detectan cristales de tiempo en sistemas MBL Floquet, donde la fase de cristal de tiempo rompe espontáneamente tanto la simetría de traslación temporal como la simetría de Ising espacial, mostrando un orden de estados propios espaciotemporal correlacionado. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |\psi _{0}\rangle =|\uparrow \downarrow \downarrow \uparrow \cdots \uparrow \uparrow \downarrow \rangle }$ ${\displaystyle \langle \sigma _{i}^{z}\rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi _{0}(t)|\sigma _{i}^{z}|\psi _{0}(t)\rangle }$

Orden topológico protegido por localización

De manera similar al caso del orden de ruptura de simetría, las fluctuaciones térmicas a temperaturas finitas pueden reducir o destruir las correlaciones cuánticas necesarias para el orden topológico. Una vez más, la localización puede permitir tales órdenes en regímenes prohibidos por el equilibrio. Esto sucede tanto para las llamadas fases topológicas entrelazadas de largo alcance como para las fases topológicas protegidas por simetría o entrelazadas de corto alcance. La teoría de código tórico / calibre en 2D es un ejemplo de lo primero, y el orden topológico en esta fase puede diagnosticarse mediante operadores de bucle de Wilson . El orden topológico se destruye en equilibrio a cualquier temperatura finita debido a vórtices fluctuantes; sin embargo, estos pueden localizarse por desorden, lo que permite un orden topológico protegido por localización vítrea a densidades de energía finitas. ^[12] Por otro lado, las fases topológicas protegidas por simetría (SPT) tienen un orden de largo alcance en masa y se distinguen de los paraimanes triviales debido a la presencia de modos de borde coherentes sin brechas siempre que esté presente la simetría protectora. En equilibrio, estos modos de borde suelen destruirse a temperaturas finitas a medida que pierden coherencia debido a interacciones con excitaciones deslocalizadas. Una vez más, la localización protege la coherencia de estos modos incluso a densidades de energía finitas. ^{[18] [19]} La presencia de un orden topológico protegido por la localización podría tener consecuencias de largo alcance para el desarrollo de nuevas tecnologías cuánticas al permitir fenómenos cuánticos coherentes a altas energías. ${\displaystyle Z_{2}}$

Sistemas Floquet

Se ha demostrado que los sistemas impulsados ​​periódicamente o Floquet también pueden ser localizados en muchos cuerpos bajo condiciones de impulso adecuadas. ^{[20] [21]} Esto es notable porque uno espera genéricamente que un sistema impulsado de muchos cuerpos simplemente se caliente hasta un estado de temperatura infinito trivial (el estado de máxima entropía sin conservación de energía). Sin embargo, con MBL, este calentamiento se puede evadir y uno puede obtener nuevamente órdenes cuánticos no triviales en los estados propios del unitario de Floquet, que es el operador de evolución temporal para un período. El ejemplo más sorprendente de esto es el cristal de tiempo, una fase con un orden espaciotemporal de largo alcance y ruptura espontánea de la simetría de traslación temporal. ^{[12] [13] [14] [15] [16]} Esta fase no está permitida en equilibrio térmico, pero se puede realizar en un entorno MBL de Floquet.

Referencias

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