En matemáticas, el orden de Bruhat (también llamado orden fuerte , orden fuerte de Bruhat , orden de Chevalley , orden de Bruhat-Chevalley u orden de Chevalley-Bruhat ) es un orden parcial de los elementos de un grupo de Coxeter , que corresponde al orden de inclusión de las variedades de Schubert .
El orden de Bruhat en las variedades de Schubert de una variedad bandera o de un Grassmanniano fue estudiado por primera vez por Ehresmann (1934), y el análogo para grupos algebraicos semisimples más generales fue estudiado por Chevalley (1958). Verma (1968) inició el estudio combinatorio del orden de Bruhat en el grupo de Weyl e introdujo el nombre de "orden de Bruhat" debido a la relación con la descomposición de Bruhat introducida por François Bruhat .
Björner (1984) estudió los ordenamientos débiles de Bruhat izquierdo y derecho.
Si ( W , S ) es un sistema de Coxeter con generadores S , entonces el orden de Bruhat es un orden parcial en el grupo W . Recordemos que una palabra reducida para un elemento w de W es una expresión de longitud mínima de w como producto de elementos de S , y la longitud ℓ ( w ) de w es la longitud de una palabra reducida.
Para obtener más información sobre los órdenes débiles, consulte el artículo orden débil de permutaciones .
El grafo de Bruhat es un grafo dirigido relacionado con el orden (fuerte) de Bruhat. El conjunto de vértices es el conjunto de elementos del grupo de Coxeter y el conjunto de aristas consta de aristas dirigidas ( u , v ) siempre que u = tv para alguna reflexión t y ℓ ( u ) < ℓ ( v ). Se puede ver el grafo como un grafo dirigido con aristas etiquetadas, con etiquetas de aristas que provienen del conjunto de reflexiones. (También se podría definir el grafo de Bruhat usando la multiplicación de la derecha; como grafos, los objetos resultantes son isomorfos, pero las etiquetas de las aristas son diferentes).
El orden fuerte de Bruhat en el grupo simétrico (permutaciones) tiene una función de Möbius dada por , y por lo tanto este poset es euleriano, lo que significa que su función de Möbius es producida por la función de rango en el poset.
