En lógica matemática , una oración (o fórmula cerrada ) [1] de una lógica de predicados es una fórmula bien formada con valor booleano sin variables libres . Se puede considerar que una oración expresa una proposición , algo que debe ser verdadero o falso. La restricción de no tener variables libres es necesaria para garantizar que las oraciones puedan tener valores de verdad fijos y concretos : como las variables libres de una fórmula (general) pueden abarcar varios valores, el valor de verdad de dicha fórmula puede variar.
Las oraciones sin conectivos lógicos o cuantificadores se conocen como oraciones atómicas ; por analogía con la fórmula atómica . Luego se construyen oraciones a partir de fórmulas atómicas mediante la aplicación de conectivos y cuantificadores.
Un conjunto de oraciones se llama teoría ; por tanto, las oraciones individuales pueden denominarse teoremas . Para evaluar adecuadamente la verdad (o falsedad) de una oración, hay que hacer referencia a una interpretación de la teoría. Para las teorías de primer orden, las interpretaciones comúnmente se denominan estructuras . Dada una estructura o interpretación, una oración tendrá un valor de verdad fijo. Una teoría es satisfactoria cuando es posible presentar una interpretación en la que todas sus oraciones sean verdaderas. El estudio de algoritmos para descubrir automáticamente interpretaciones de teorías que hacen que todas las oraciones sean verdaderas se conoce como problema de teorías del módulo de satisfacibilidad .
Para la interpretación de fórmulas, considere estas estructuras: los números reales positivos , los números reales y los números complejos . El siguiente ejemplo en lógica de primer orden.
es una frase. Esta oración significa que para cada y, hay una x tal que Esta oración es verdadera para números reales positivos, falsa para números reales y verdadera para números complejos.
Sin embargo, la fórmula
no es una oración debido a la presencia de la variable libre y . Para números reales, esta fórmula es verdadera si sustituimos (arbitrariamente) pero es falsa si
Lo importante es la presencia de una variable libre, más que el valor de verdad inconstante; por ejemplo, incluso para números complejos, donde la fórmula siempre es verdadera, todavía no se considera una oración. En cambio , a esta fórmula se le puede llamar predicado .
