Ola de amor

Ondas superficiales polarizadas horizontalmente

Cómo funcionan las ondas de amor

En elastodinámica , las ondas Love , llamadas así por Augustus Edward Hough Love , son ondas superficiales polarizadas horizontalmente . La onda Love es el resultado de la interferencia de muchas ondas transversales ( ondas S ) guiadas por una capa elástica, que está soldada a un semiespacio elástico en un lado mientras bordea un vacío en el otro lado. En sismología , las ondas Love (también conocidas como ondas Q ( Queer : alemán para lateral)) son ondas sísmicas superficiales que causan un desplazamiento horizontal de la Tierra durante un terremoto . Augustus Edward Hough Love predijo matemáticamente la existencia de las ondas Love en 1911. Forman una clase distinta, diferente de otros tipos de ondas sísmicas , como las ondas P y las ondas S (ambas ondas corporales ), o las ondas Rayleigh (otro tipo de onda superficial). Las ondas Love viajan con una velocidad menor que las ondas P o S, pero más rápido que las ondas Rayleigh. Estas ondas se observan solo cuando hay una capa de baja velocidad sobre una capa/subcapas de alta velocidad.

Descripción

El movimiento de partículas de una onda Love forma una línea horizontal perpendicular a la dirección de propagación (es decir, son ondas transversales ). Al adentrarse más en el material, el movimiento puede disminuir hasta un "nodo" y luego aumentar y disminuir alternativamente a medida que se examinan capas más profundas de partículas. La amplitud , o el movimiento máximo de partículas, a menudo disminuye rápidamente con la profundidad.

Dado que las ondas Love viajan sobre la superficie de la Tierra, su fuerza (o amplitud) disminuye exponencialmente con la profundidad de un terremoto. Sin embargo, dado su confinamiento en la superficie, su amplitud decae solo a medida que , donde representa la distancia que la onda ha viajado desde el terremoto. Por lo tanto, las ondas superficiales decaen más lentamente con la distancia que las ondas corporales, que viajan en tres dimensiones. Los grandes terremotos pueden generar ondas Love que viajan alrededor de la Tierra varias veces antes de disiparse. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r}}}}$ ${\displaystyle r}$

Dado que se desintegran tan lentamente, las ondas Love son las más destructivas fuera del área inmediata del foco o epicentro de un terremoto. Son lo que la mayoría de las personas sienten directamente durante un terremoto.

En el pasado, se creía que animales como los gatos y los perros podían predecir un terremoto antes de que ocurriera. Sin embargo, son simplemente más sensibles a las vibraciones del suelo que los humanos y pueden detectar las ondas corporales más sutiles que preceden a las ondas Love, como las ondas P y las ondas S. ^[1]

Teoría básica

La conservación del momento lineal de un material elástico lineal se puede escribir como ^[2]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )=\rho ~{\ddot {\mathbf {u} }}}$

donde es el vector de desplazamiento y es el tensor de rigidez . Las ondas Love son una solución especial ( ) que satisface este sistema de ecuaciones. Normalmente usamos un sistema de coordenadas cartesianas ( ) para describir las ondas Love. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle x,y,z}$

Consideremos un medio elástico lineal isótropo en el que las propiedades elásticas son funciones únicamente de la coordenada, es decir, los parámetros de Lamé y la densidad de masa se pueden expresar como . Los desplazamientos producidos por las ondas de Love en función del tiempo ( ) tienen la forma ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \lambda (z),\mu (z),\rho (z)}$ ${\displaystyle (u,v,w)}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle u(x,y,z,t)=0~,~~v(x,y,z,t)={\hat {v}}(x,z,t)~,~~w(x,y,z,t)=0\,.}$

Por lo tanto, se trata de ondas transversales antiplanares perpendiculares al plano. La función se puede expresar como la superposición de ondas armónicas con números de onda ( ) y frecuencias ( ) variables . Consideremos una sola onda armónica, es decir, ${\displaystyle (x,z)}$ ${\displaystyle {\hat {v}}(x,z,t)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\hat {v}}(x,z,t)=V(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]}$

donde es la unidad imaginaria , es decir , las tensiones causadas por estos desplazamientos son ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$

${\displaystyle \sigma _{xx}=0~,~~\sigma _{yy}=0~,~~\sigma _{zz}=0~,~~\tau _{zx}=0~,~~\tau _{yz}=\mu (z)\,{\frac {dV}{dz}}\,\exp[i(kx-\omega t)]~,~~\tau _{xy}=ik\mu (z)V(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]\,.}$

Si sustituimos los desplazamientos supuestos en las ecuaciones de conservación del momento, obtenemos una ecuación simplificada

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[\mu (z)\,{\frac {dV}{dz}}\right]=[k^{2}\,\mu (z)-\omega ^{2}\,\rho (z)]\,V(k,z,\omega )\,.}$

Las condiciones de contorno para una onda Love son que las tracciones superficiales en la superficie libre deben ser cero. Otro requisito es que el componente de tensión en un medio estratificado debe ser continuo en las interfaces de las capas. Para convertir la ecuación diferencial de segundo orden en dos ecuaciones de primer orden, expresamos este componente de tensión en la forma ${\displaystyle (z=0)}$ ${\displaystyle \tau _{yz}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \tau _{yz}=T(k,z,\omega )\,\exp[i(kx-\omega t)]}$

para obtener las ecuaciones de conservación del momento de primer orden

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\begin{bmatrix}V\\T\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1/\mu (z)\\k^{2}\,\mu (z)-\omega ^{2}\,\rho (z)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V\\T\end{bmatrix}}\,.}$

Las ecuaciones anteriores describen un problema de valores propios cuya solución de funciones propias se puede encontrar mediante varios métodos numéricos . Otro método común y eficaz es el método de la matriz propagadora (también llamado método matricial). ^{[ cita requerida ]}

Véase también

• Onda longitudinal
• Cizalladura antiplanar

Referencias

• AEH Love, "Algunos problemas de geodinámica", publicado por primera vez en 1911 por Cambridge University Press y publicado nuevamente en 1967 por Dover, Nueva York, EE. UU. (Capítulo 11: Teoría de la propagación de ondas sísmicas)

1. "¿Qué es la sismología?". Universidad Tecnológica de Michigan. 2007. Consultado el 28 de julio de 2009 .
2. Se supone que la fuerza del cuerpo es cero y se ha utilizado la notación tensorial directa. Para conocer otras formas de escribir estas ecuaciones rectoras, consulte elasticidad lineal .