Ecuación omega

"Ecuación elíptica para estimar la velocidad vertical en meteorología"

La ecuación omega es un resultado culminante en la meteorología a escala sinóptica . Es una ecuación diferencial parcial elíptica , llamada así porque su lado izquierdo produce una estimación de la velocidad vertical, habitualmente ^[1] expresada por el símbolo , en una coordenada de presión que mide la altura de la atmósfera. Matemáticamente, , donde representa una derivada material . Sin embargo, el concepto subyacente es más general y también se puede aplicar ^[2] al sistema de ecuaciones de fluidos de Boussinesq donde la velocidad vertical está en la coordenada de altitud z . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega ={\frac {dp}{dt}}}$ ${\displaystyle {d \over dt}}$ ${\displaystyle w={\frac {dz}{dt}}}$

Concepto y resumen

El viento vertical es crucial para el clima y las tormentas de todo tipo. Incluso las corrientes ascendentes lentas y amplias pueden crear inestabilidad convectiva o llevar el aire a su nivel de condensación elevado creando capas de nubes estratiformes . Desafortunadamente, predecir el movimiento vertical directamente es difícil. Para escalas sinópticas en la troposfera amplia y poco profunda de la Tierra , el componente vertical de la ley de movimiento de Newton se sacrifica en las ecuaciones primitivas de la meteorología , al aceptar la aproximación hidrostática . En cambio, la velocidad vertical debe resolverse a través de su vínculo con las leyes de movimiento horizontales, a través de la ecuación de continuidad de masa . Pero esto presenta más dificultades, porque los vientos horizontales son en su mayoría geostróficos , en una buena aproximación . Los vientos geostróficos simplemente circulan horizontalmente y no convergen o divergen significativamente en la horizontal para proporcionar el vínculo necesario con la continuidad de masa y, por lo tanto, el movimiento vertical.

La idea clave incorporada por la ecuación omega cuasi-geostrófica es que el equilibrio del viento térmico (la combinación de los equilibrios de fuerza hidrostáticos y geostróficos anteriores) se mantiene a lo largo del tiempo, aunque el transporte horizontal de momento y calor por los vientos geostróficos a menudo tenderá a destruir ese equilibrio. Lógicamente, entonces, un pequeño componente no geostrófico del viento (uno que es divergente y, por lo tanto, conectado al movimiento vertical) debe estar actuando como una circulación secundaria para mantener el equilibrio de la circulación primaria geostrófica. El omega cuasi-geostrófico es el movimiento vertical hipotético cuyo efecto de enfriamiento o calentamiento adiabático (basado en la estabilidad estática de la atmósfera ) evitaría que el desequilibrio del viento térmico crezca con el tiempo, al contrarrestar los efectos destructores del equilibrio (o creadores de desequilibrio) de la advección . Estrictamente hablando, la teoría QG aproxima tanto el momento advecto como la velocidad de advección tal como los da el viento geostrófico . ${\displaystyle \omega _{QG}}$

En resumen, se puede considerar la velocidad vertical que resulta de resolver la ecuación omega como la que sería necesaria para mantener la geostrofia y la hidrostasía frente a la advección del viento geostrófico. ^[1]

La ecuación dice:

donde es el parámetro de Coriolis , está relacionado con la estabilidad estática , es el vector de velocidad geostrófica , es la vorticidad relativa geostrófica , es el geopotencial , es el operador laplaciano horizontal y es el operador del horizontal . ^[3] Su signo y sentido en aplicaciones meteorológicas típicas ^[4] es: el movimiento ascendente se produce por advección de vorticidad positiva por encima del nivel en cuestión (el primer término), más advección cálida (el segundo término). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbf {V} _{\text{g}}}$ ${\displaystyle \zeta _{\text{g}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \nabla _{\text{H}}^{2}}$ ${\displaystyle \nabla _{\text{H}}}$

Derivación

La derivación de la ecuación se basa en el componente vertical de la ecuación de vorticidad y en la ecuación termodinámica. La ecuación de vorticidad vertical para una atmósfera sin fricción puede escribirse utilizando la presión como coordenada vertical: ${\displaystyle \omega }$

Aquí está la vorticidad relativa, el vector de velocidad del viento horizontal, cuyos componentes en las direcciones y son y respectivamente, la vorticidad absoluta , es el parámetro de Coriolis , la derivada material de la presión , es el vector vertical unitario, es el operador isobárico Del (grad), es la advección vertical de la vorticidad y representa el término de "inclinación" o transformación de la vorticidad horizontal en vorticidad vertical. ^[5] ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi +f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega ={\frac {dp}{dt}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\hat {k}}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \left(\xi {\frac {\partial \omega }{\partial p}}-\omega {\frac {\partial \xi }{\partial p}}\right)}$ ${\displaystyle {\hat {k}}\cdot \nabla \omega \times {\frac {\partial V}{\partial p}}}$

La ecuación termodinámica puede escribirse como:

donde , donde es la velocidad de calentamiento (suministro de energía por unidad de tiempo y unidad de masa), es el calor específico del aire seco, es la constante de los gases para el aire seco, es la temperatura potencial y es el geopotencial . ${\displaystyle k\equiv \left({\frac {\partial Z}{\partial p}}\right){\frac {\partial }{\partial p}}\ln \theta }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle C_{\text{p}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (gZ)}$

La ecuación ( 1 ) se obtiene a partir de las ecuaciones ( 2 ) y ( 3 ) formulando ambas ecuaciones en términos del geopotencial Z y eliminando las derivadas temporales basándose en el supuesto físico de que el desequilibrio del viento térmico sigue siendo pequeño a lo largo del tiempo, o d/dt(desequilibrio) = 0. Para el primer paso, la vorticidad relativa debe aproximarse como la vorticidad geostrófica: ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle \xi ={\frac {g}{f}}\nabla ^{2}Z}$$

Ampliando el término "inclinación" final en ( 2 ) a coordenadas cartesianas (aunque pronto lo descuidaremos), la ecuación de vorticidad se lee:

Diferenciando ( 4 ) con respecto a se obtiene: ${\displaystyle p}$

Tomando el Laplaciano ( ) de ( 3 ) se obtiene: ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

Sumando ( 5 ) a g / f por ( 6 ), sustituyendo y aproximando la advección horizontal con la advección geostrófica (usando el formalismo jacobiano ) se obtiene: ${\displaystyle gk=\sigma }$

La ecuación ( 7 ) es ahora una ecuación diferencial lineal diagnóstica para , que se puede dividir en dos términos, a saber y , tales que: ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

y

donde es la velocidad vertical atribuible a todas las tendencias advectivas dependientes del flujo en la ecuación ( 8 ), y es la velocidad vertical debida al calentamiento no adiabático, que incluye el calor latente de condensación, los flujos de calor sensible, el calentamiento radiativo, etc. (Singh y Rathor, 1974). Dado que todas las velocidades de advección en la horizontal han sido reemplazadas por valores geostróficos, y los vientos geostróficos son casi no divergentes, el descuido de los términos de advección vertical es una suposición adicional consistente del conjunto cuasi-geostrófico , dejando solo el término entre corchetes en las ecuaciones ( 7-8 ) para ingresar en ( 1 ). ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{2}}$

Interpretación

Los meteorólogos y los pronosticadores meteorológicos operativos utilizan la ecuación ( 1 ) para la adiabática para anticipar dónde se producirá el movimiento ascendente en los mapas sinópticos. Para los movimientos sinusoidales o en forma de onda, donde los operadores laplacianos actúan simplemente como un signo negativo, ^[4] y el significado de la ecuación se puede expresar con palabras que indiquen el signo del efecto: el movimiento ascendente es impulsado por la advección de vorticidad positiva que aumenta con la altura (o PVA para abreviar), más la advección de aire cálido (o WAA para abreviar). El caso con signo opuesto es lógicamente opuesto, para esta ecuación lineal. ${\displaystyle \omega _{QG}}$

En una ubicación donde los efectos desequilibrantes de la advección adiabática están actuando para impulsar el movimiento ascendente (donde en la ecuación 1 ), la inercia del campo de viento geostrófico (es decir, su propensión a continuar hacia adelante) está creando una demanda de espesor decreciente para que el equilibrio del viento térmico continúe manteniéndose. Por ejemplo, cuando hay un ciclón o valle de nivel superior que se acerca por encima del nivel en cuestión, la parte atribuible al primer término en la ecuación 1 es el movimiento ascendente necesario para crear la columna de aire cada vez más fría que se requiere hipsométricamente bajo las alturas descendentes. Ese razonamiento adiabático debe complementarse con una apreciación de las retroalimentaciones del calentamiento dependiente del flujo, como la liberación de calor latente. Si el calor latente se libera a medida que el aire se enfría, entonces se requerirá un movimiento ascendente adicional según la ecuación ( 9 ) para contrarrestar su efecto, a fin de seguir creando el núcleo frío necesario. Otra forma de pensar en esta retroalimentación es considerar una estabilidad estática efectiva que es menor en el aire saturado que en el aire no saturado, aunque una complicación de esa visión es que el calentamiento latente mediado por convección no necesita ser verticalmente local a la altitud donde el enfriamiento desencadena su formación. Por esta razón, mantener un término Q separado como la ecuación (9) es un enfoque útil. ^[6] ${\displaystyle \omega _{QG}<0}$ ${\displaystyle {\frac {-\partial Z}{\partial p}}}$ ${\displaystyle \omega _{QG}}$ ${\displaystyle \omega _{QG}}$

Referencias

1. Holton, James (2004). Introducción a la meteorología dinámica . Elsevier Academic Press. ISBN 0123540151.
2. Davies, Huw (2015). "La ecuación omega cuasigeostrófica: reevaluación, refinamientos y relevancia". Monthly Weather Review . 143 (1): 3–25. Código Bibliográfico :2015MWRv..143....3D. doi : 10.1175/MWR-D-14-00098.1 .
3. Holton, JR, 1992, Introducción a la meteorología dinámica Academic Press, 166-175
4. "Quasi-Geostrophic Omega Equation Lab". METEd, programa CoMET . Consultado el 10 de noviembre de 2019 .
5. Singh y Rathor, 1974, Reducción de la ecuación omega completa a la forma más simple, Geofísica pura y aplicada, 112, 219-223
6. Nie, Ji; Fan, Bowen (19 de junio de 2019). "Funciones de las fuerzas dinámicas y el calentamiento diabático en las precipitaciones extremas de verano en el este de China y el sureste de los Estados Unidos". Journal of Climate . 32 (18): 5815–5831. Bibcode :2019JCli...32.5815N. doi : 10.1175/JCLI-D-19-0188.1 . ISSN  0894-8755.

Enlaces externos

• Definición de la Sociedad Meteorológica Estadounidense