Constante omega

Solución para x * e^x = 1

La constante omega es una constante matemática definida como el único número real que satisface la ecuación

${\displaystyle \Omega e^{\Omega }=1.}$

Es el valor de W (1) , donde W es la función W de Lambert . El nombre se deriva del nombre alternativo de la función W de Lambert , la función omega . El valor numérico de Ω se da por

Ω = 0,56714 32904 09783 87299 99686 62210 ... (secuencia A030178 en la OEIS ).

1/Ω = 1,76322 28343 51896 71022 52017 76951 ... (secuencia A030797 en la OEIS ).

Propiedades

Representación de punto fijo

La identidad definitoria puede expresarse, por ejemplo, como

${\displaystyle \ln({\tfrac {1}{\Omega }})=\Omega .}$

o

${\displaystyle -\ln(\Omega )=\Omega }$

así como

${\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega .}$

Cálculo

Se puede calcular Ω iterativamente , comenzando con una estimación inicial Ω ₀ y considerando la secuencia

${\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}.}$

Esta secuencia convergerá a Ω cuando n se acerque al infinito. Esto se debe a que Ω es un punto fijo atractivo de la función e ^{− x} .

Es mucho más eficiente utilizar la iteración.

${\displaystyle \Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}},}$

porque la función

${\displaystyle f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}},}$

Además de tener el mismo punto fijo, también tiene una derivada que se anula allí. Esto garantiza la convergencia cuadrática; es decir, el número de dígitos correctos se duplica aproximadamente con cada iteración.

Utilizando el método Halley , Ω se puede aproximar con convergencia cúbica (el número de dígitos correctos se triplica aproximadamente con cada iteración): (véase también Función W de Lambert § Evaluación numérica ).

${\displaystyle \Omega _{j+1}=\Omega _{j}-{\frac {\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1}{e^{\Omega _{j}}(\Omega _{j}+1)-{\frac {(\Omega _{j}+2)(\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1)}{2\Omega _{j}+2}}}}.}$

Representaciones integrales

Una identidad debida a ^{[ cita requerida ]} Victor Adamchik ^{[ cita requerida ]} está dada por la relación

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}={\frac {1}{1+\Omega }}.}$

Otras relaciones debidas a Mező ^{[1] [2]} y Kalugin-Jeffrey-Corless ^[3] son:

${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\right)dt,}$

${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.}$

Las dos últimas identidades pueden extenderse a otros valores de la función W (véase también Función W de Lambert § Representaciones ).

Trascendencia

La constante Ω es trascendental . Esto puede verse como una consecuencia directa del teorema de Lindemann-Weierstrass . Para una contradicción, supongamos que Ω es algebraica. Por el teorema, e ^−Ω es trascendental, pero Ω = e ^−Ω , lo cual es una contradicción. Por lo tanto, debe ser trascendental. ^[4]

Referencias

1. Mező, István. «Una representación integral para la rama principal de la función W de Lambert» . Consultado el 24 de abril de 2022 .
2. Mező, István (2020). "Una representación integral de la función Lambert W". arXiv : 2012.02480 [matemáticas.CA]..
3. Kalugin, German A.; Jeffrey, David J.; Corless, Robert M. (2011). "Stieltjes, Poisson y otras representaciones integrales para funciones de Lambert W". arXiv : 1103.5640 [math.CV]..
4. Mező, István; Baricz, Árpád (noviembre de 2017). «Sobre la generalización de la función W de Lambert» (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 369 (11): 7928. Consultado el 28 de abril de 2023 .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Constante omega". MathWorld .
• "Constante omega (1.000.000 de dígitos)", Darkside Communication Group (en Japón) , consultado el 25 de diciembre de 2017