Octonión

Sistema de numeración hipercomplejo

En matemáticas , los octoniones son un álgebra de división normada sobre los números reales , una especie de sistema numérico hipercomplejo . Los octoniones se representan habitualmente con la letra O mayúscula, utilizando O en negrita o negrita de pizarra . Los octoniones tienen ocho dimensiones ; el doble del número de dimensiones de los cuaterniones , de los que son una extensión. Son no conmutativos y no asociativos , pero satisfacen una forma más débil de asociatividad; es decir, son alternativos . También son asociativos de potencia . ${\displaystyle \mathbb {O} }$

Los octoniones no son tan conocidos como los cuaterniones y los números complejos , que son mucho más estudiados y utilizados. Los octoniones están relacionados con estructuras excepcionales en matemáticas, entre ellas los grupos de Lie excepcionales . Los octoniones tienen aplicaciones en campos como la teoría de cuerdas , la relatividad especial y la lógica cuántica . Aplicando la construcción de Cayley-Dickson a los octoniones se obtienen los sedeniones .

Historia

Los octoniones fueron descubiertos en 1843 por John T. Graves , inspirado por el descubrimiento de los cuaterniones de su amigo William Rowan Hamilton . Graves llamó a su descubrimiento "octavas" y las mencionó en una carta a Hamilton fechada el 26 de diciembre de 1843. ^[1] Publicó su resultado por primera vez un poco después del artículo de Arthur Cayley . ^[2] Los octoniones fueron descubiertos independientemente por Cayley ^[3] y a veces se los conoce como números de Cayley o álgebra de Cayley . Hamilton describió la historia temprana del descubrimiento de Graves. ^[4]

Definición

Los octoniones pueden considerarse como octetos (o tuplas de 8) de números reales. Cada octonión es una combinación lineal real de los octoniones unitarios :

${\displaystyle {\bigl \{}e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}{\bigr \}}\ ,}$

donde e ₀ es el elemento escalar o real; puede identificarse con el número real 1 . Es decir, todo octonión x puede escribirse en la forma

${\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7}\ ,}$

con coeficientes reales x _i .

La suma y resta de octoniones se realiza sumando y restando los términos correspondientes y, por lo tanto, sus coeficientes, como los cuaterniones. La multiplicación es más compleja. La multiplicación es distributiva con respecto a la suma, por lo que el producto de dos octoniones se puede calcular sumando los productos de todos los términos, nuevamente como los cuaterniones. El producto de cada par de términos se puede obtener mediante la multiplicación de los coeficientes y una tabla de multiplicación de los octoniones unitarios, como esta (dada por Cayley en 1845 y Graves en 1843): ^[5]

La mayoría de los elementos no diagonales de la tabla son antisimétricos, lo que la convierte casi en una matriz antisimétrica, excepto los elementos en la diagonal principal, así como la fila y la columna para las que e ₀ es un operando.

La tabla se puede resumir de la siguiente manera: ^[6]

${\displaystyle e_{\ell }e_{m}={\begin{cases}e_{m},&{\text{if }}\ell =0\\e_{\ell },&{\text{if }}m=0\\-\delta _{\ell m}e_{0}+\varepsilon _{\ell mn}e_{n},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

donde δ _ℓm es el delta de Kronecker (igual a 1 si ℓ = m , y 0 para ℓ ≠ m ), y ε _ℓmn es un tensor completamente antisimétrico con valor +1 cuando ℓ mn = 1 2 3, 1 4 5, 1 7 6, 2 4 6, 2 5 7, 3 4 7, 3 6 5 , y cualquier número par de permutaciones de los índices, pero −1 para cualquier permutación impar de los triples enumerados (por ejemplo , pero sin embargo, de nuevo). Siempre que dos de los tres índices sean iguales, ε _ℓmn = 0 . ${\displaystyle \ \varepsilon _{123}=+1\ }$ ${\displaystyle \ \varepsilon _{132}=\varepsilon _{213}=-1\ ,}$ ${\displaystyle \ \varepsilon _{312}=\varepsilon _{231}=+1\ }$

Sin embargo, la definición anterior no es única; es solo una de las 480 definiciones posibles para la multiplicación de octoniones con e ₀ = 1 . Las otras se pueden obtener permutando y cambiando los signos de los elementos de base no escalares { e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ , e ₅ , e ₆ , e ₇ }  . Las 480 álgebras diferentes son isomorfas y rara vez es necesario considerar qué regla de multiplicación en particular se usa.

Cada una de estas 480 definiciones es invariante hasta signos bajo algún ciclo de 7 puntos (1 2 3 4 5 6 7) , y para cada ciclo de 7 hay cuatro definiciones, que difieren en signos e inversión de orden. Una opción común es utilizar la definición invariante bajo el ciclo de 7 (1234567) con e ₁ e ₂ = e ₄ utilizando el diagrama de multiplicación triangular, o plano de Fano a continuación que también muestra la lista ordenada de tríadas de 7 ciclos basadas en 1 2 4 y sus matrices de multiplicación asociadas tanto en formato e _n como . ${\displaystyle \ \mathrm {IJKL} \ }$

Una variación de esto que se usa a veces es etiquetar los elementos de la base con los elementos ∞ , 0, 1, 2, ..., 6, de la línea proyectiva sobre el cuerpo finito de orden 7. La multiplicación se da entonces por e _∞ = 1 y e ₁ e ₂ = e ₄ , y todas las expresiones se obtienen a partir de esto añadiendo una constante ( módulo 7) a todos los subíndices: En otras palabras, usando los siete triples (1 2 4) (2 3 5) (3 4 6) (4 5 0) ( 5 6 1) (6 0 2) (0 1 3) . Estas son las palabras de código distintas de cero del código de residuo cuadrático de longitud 7 sobre el cuerpo de Galois de dos elementos, GF (2) . Hay una simetría de orden 7 dada al sumar una constante módulo  7 a todos los subíndices, y también una simetría de orden 3 dada al multiplicar todos los subíndices por uno de los residuos cuadráticos 1, 2, 4 módulo 7. ^{[7] [8] Estos siete triples también pueden considerarse como las siete traducidas del conjunto {1,2,4} de cuadrados distintos de cero que forman un} conjunto de diferencias cíclicas (7,3,1) en el campo finito GF(7) de siete elementos.

La tabla de multiplicación para un álgebra geométrica de signatura (− − − −) se puede dar en términos de los siguientes 7  triples cuaterniónicos (omitiendo el elemento identidad):

( yo , j , k ), ( yo , J , k ), ( yo , j , K ), ( yo , J , K ), ( ★ yo , i , m ), (★ J , j , m ), (★ K , k , m )

en la que los elementos en minúscula son vectores y los en mayúscula son bivectores y ★ = mijk (que es el operador de estrella de Hodge ). Si se fuerza que ★ sea igual a la identidad, entonces la multiplicación deja de ser asociativa, pero se puede eliminar ★ de la tabla de multiplicación, lo que da como resultado una tabla de multiplicación de octoniones.

Para mantener la asociatividad de ★ = mijk y, por lo tanto, no reducir el álgebra geométrica de cuatro dimensiones a una de octoniones, la tabla de multiplicación completa se puede derivar de la ecuación para ★ . Consideremos las matrices gamma . La fórmula que define la quinta matriz gamma muestra que es la ★ de un álgebra geométrica de cuatro dimensiones de las matrices gamma.

Construcción Cayley-Dickson

Una forma más sistemática de definir los octoniones es mediante la construcción de Cayley-Dickson. Así como los cuaterniones pueden definirse como pares de números complejos, los octoniones pueden definirse como pares de cuaterniones. La adición se define por pares. El producto de dos pares de cuaterniones ( a , b ) y ( c , d ) se define por

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})\ ,}$

donde z * denota el conjugado del cuaternión z . Esta definición es equivalente a la dada anteriormente cuando los ocho octoniones unitarios se identifican con los pares

(1, 0), ( i , 0), ( j , 0), ( k , 0), (0, 1), (0, i ), (0, j ), (0, k )

Mnemónico del plano de Fano

Un mnemónico para los productos de los octoniones unitarios ^[9]

Una visualización mnemotécnica 3D que muestra las 7 tríadas como hiperplanos a través del vértice real ( e ₀ ) del ejemplo de octoniones dado anteriormente ^[9]

Un mnemónico conveniente para recordar los productos de octoniones unitarios se da mediante el diagrama, que representa la tabla de multiplicación de Cayley y Graves. ^{[5] [10]} Este diagrama con siete puntos y siete líneas (el círculo que pasa por 1, 2 y 3 se considera una línea) se llama plano de Fano . Las líneas son direccionales. Los siete puntos corresponden a los siete elementos de base estándar de (ver definición a continuación). Cada par de puntos distintos se encuentra en una línea única y cada línea pasa exactamente por tres puntos. ${\displaystyle \ \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl [}\ \mathbb {O} \ {\bigr ]}\ }$

Sea ( a , b , c ) un triple ordenado de puntos que se encuentran sobre una línea dada con el orden especificado por la dirección de la flecha. Entonces la multiplicación está dada por

ab = c y ba = − c

junto con las permutaciones cíclicas . Estas reglas junto con

• 1 es la identidad multiplicativa,
• ${\displaystyle {e_{i}}^{2}=-1\ }$para cada punto del diagrama

define completamente la estructura multiplicativa de los octoniones. Cada una de las siete líneas genera una subálgebra de isomorfa a los cuaterniones H . ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

Conjugado, norma e inversa

El conjugado de un octonión

${\displaystyle x=x_{0}\ e_{0}+x_{1}\ e_{1}+x_{2}\ e_{2}+x_{3}\ e_{3}+x_{4}\ e_{4}+x_{5}\ e_{5}+x_{6}\ e_{6}+x_{7}\ e_{7}}$

viene dado por

${\displaystyle x^{*}=x_{0}\ e_{0}-x_{1}\ e_{1}-x_{2}\ e_{2}-x_{3}\ e_{3}-x_{4}\ e_{4}-x_{5}\ e_{5}-x_{6}\ e_{6}-x_{7}\ e_{7}~.}$

La conjugación es una involución de y satisface ( xy )* = y * x * (note el cambio de orden). ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

La parte real de x está dada por

${\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}\ e_{0}}$

y la parte imaginaria por

${\displaystyle {\frac {x-x^{*}}{2}}=x_{1}\ e_{1}+x_{2}\ e_{2}+x_{3}\ e_{3}+x_{4}\ e_{4}+x_{5}\ e_{5}+x_{6}\ e_{6}+x_{7}\ e_{7}~.}$

El conjunto de todos los octoniones puramente imaginarios abarca un subespacio de 7  dimensiones denotado ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ ,}$ ${\displaystyle \ \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl [}\ \mathbb {O} \ {\bigr ]}~.}$

La conjugación de octoniones satisface la ecuación

${\displaystyle -6x^{*}=x+(e_{1}x)e_{1}+(e_{2}x)e_{2}+(e_{3}x)e_{3}+(e_{4}x)e_{4}+(e_{5}x)e_{5}+(e_{6}x)e_{6}+(e_{7}x)e_{7}~.}$

El producto de un octonión por su conjugado, x * x = xx * , es siempre un número real no negativo:

${\displaystyle x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}~.}$

Usando esto, la norma de un octonión se puede definir como

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}~.}$

Esta norma concuerda con la norma euclidiana estándar de 8 dimensiones en ℝ ⁸ .

La existencia de una norma en implica la existencia de inversas para cada elemento distinto de cero de La inversa de x ≠ 0 , que es el único octonión x ⁻¹ que satisface xx ⁻¹ = x ⁻¹ x = 1 , viene dada por ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {O} ~.}$

${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}~.}$

Propiedades

La multiplicación octoniónica no es conmutativa :

e _i e _j = − e _j e _i ≠ e _j e _i si i , j son distintos y no cero,

ni asociativo :

( e _i e _j ) e _k = − e _i ( e _j e _k ) ≠ e _i ( e _j e _k ) si i , j , k son distintos, distintos de cero y e _i e _j ≠ ± e _k .

Los octoniones satisfacen una forma más débil de asociatividad: son alternativos. Esto significa que la subálgebra generada por dos elementos cualesquiera es asociativa. En realidad, se puede demostrar que la subálgebra generada por dos elementos cualesquiera de es isomorfa a ℝ , ℂ o ℍ , todos los cuales son asociativos. Debido a su no asociatividad, los octoniones no pueden representarse mediante una subálgebra de un anillo de matrices sobre ℝ , a diferencia de los números reales, los números complejos y los cuaterniones. ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

Los octoniones conservan una propiedad importante compartida por ℝ , ℂ y ℍ : la norma en satisface ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

${\displaystyle \|xy\|=\|x\|\ \|y\|~.}$

Esta ecuación significa que los octoniones forman un álgebra de composición . Las álgebras de dimensiones superiores definidas por la construcción de Cayley-Dickson (empezando por los sedeniones ) no satisfacen esta propiedad. Todas tienen divisores de cero .

Existen sistemas numéricos más amplios que tienen un módulo multiplicativo (por ejemplo, los sedeniones cónicos de 16 dimensiones). Su módulo se define de forma diferente a su norma y también contienen divisores de cero.

Como lo demuestra Hurwitz , ℝ , ℂ o ℍ y son las únicas álgebras de división normadas sobre los números reales. Estas cuatro álgebras también forman las únicas álgebras de división alternativas de dimensión finita sobre los números reales ( salvo un isomorfismo). ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

Al no ser asociativos, los elementos distintos de cero de no forman un grupo . Sin embargo, forman un bucle , específicamente un bucle Moufang . ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

Conmutador y producto vectorial

El conmutador de dos octoniones x e y está dado por

${\displaystyle [x,y]=xy-yx~.}$

Esta es antisimétrica e imaginaria. Si se considera únicamente como un producto en el subespacio imaginario, define un producto en ese espacio, el producto vectorial heptadimensional , dado por ${\displaystyle \ \operatorname {\mathcal {I_{m}}} {\bigl [}\ \mathbb {O} \ {\bigr ]}\ }$

${\displaystyle x\times y={\tfrac {\ 1\ }{2}}\ (xy-yx)~.}$

Al igual que el producto vectorial en tres dimensiones, este es un vector ortogonal a x e y con magnitud

${\displaystyle \|x\times y\|=\|x\|\ \|y\|\ \sin \theta ~.}$

Pero, al igual que el producto octoniónico, no está definido de forma única, sino que existen muchos productos cruzados diferentes, cada uno de los cuales depende del producto octoniónico elegido. ^[11]

Automorfismos

Un automorfismo , A , de los octoniones es una transformación lineal invertible de la cual satisface ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

${\displaystyle A(xy)=A(x)\ A(y)~.}$

El conjunto de todos los automorfismos de forma un grupo llamado G 2 . ^[12] El grupo G ₂ es un grupo de Lie real , compacto y simplemente conexo de dimensión 14. Este grupo es el más pequeño de los grupos de Lie excepcionales y es isomorfo al subgrupo de Spin(7) que preserva cualquier vector particular elegido en su representación de espinor real de 8 dimensiones. El grupo Spin(7) es a su vez un subgrupo del grupo de isotopías que se describe a continuación. ${\displaystyle \ \mathbb {O} \ }$

Véase también : PSL(2,7) – el grupo de automorfismos del plano de Fano.

Isotopías

Una isotopía de un álgebra es un triple de funciones lineales biyectivas a , b , c tales que si xy = z entonces a ( x ) b ( y ) = c ( z ) . Para a = b = c esto es lo mismo que un automorfismo. El grupo de isotopías de un álgebra es el grupo de todas las isotopías, que contiene al grupo de automorfismos como subgrupo.

El grupo isotópico de los octoniones es el grupo Spin ₈ (ℝ) , con a , b , c actuando como las tres representaciones de 8 dimensiones. ^[13] El subgrupo de elementos donde c fija la identidad es el subgrupo Spin ₇ (ℝ) , y el subgrupo donde a , b , c fijan la identidad es el grupo de automorfismos G ₂ .

Aplicaciones

Los octoniones juegan un papel importante en la clasificación y construcción de otras entidades matemáticas. Por ejemplo, el grupo de Lie excepcional G 2 es el grupo de automorfismo de los octoniones, y los otros grupos de Lie excepcionales F 4 , E 6 , E 7 y E 8 pueden entenderse como las isometrías de ciertos planos proyectivos definidos utilizando los octoniones. ^[14] El conjunto de matrices octoniónicas autoadjuntas 3 × 3 , equipadas con un producto matricial simetrizado, define el álgebra de Albert . En matemáticas discretas , los octoniones proporcionan una derivación elemental de la red de Leech , y por lo tanto están estrechamente relacionados con los grupos simples esporádicos . ^{[15] [16]}

Las aplicaciones de los octoniones a la física han sido en gran medida conjeturales. Por ejemplo, en la década de 1970, se intentó comprender los quarks mediante un espacio de Hilbert octoniónico . ^[17] Se sabe que los octoniones, y el hecho de que solo puedan existir cuatro álgebras de división normadas, se relaciona con las dimensiones del espacio-tiempo en las que se pueden construir teorías cuánticas de campos supersimétricas . ^{[18] [19]} También se ha intentado obtener el Modelo Estándar de la física de partículas elementales a partir de construcciones octoniónicas, por ejemplo utilizando el "álgebra de Dixon" ^{[20] [21]} ${\displaystyle \ \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} \otimes \mathbb {O} ~.}$

Los octoniones también han surgido en el estudio de la entropía de los agujeros negros , la ciencia de la información cuántica , ^{[22] [23]} la teoría de cuerdas , ^[24] y el procesamiento de imágenes. ^[25]

Los octoniones se han utilizado en soluciones al problema de calibración mano-ojo en robótica . ^[26]

Las redes de octoniones profundos proporcionan un medio de expresión eficiente y compacta en aplicaciones de aprendizaje automático. ^{[27] [28]}

Octoniones integrales

Existen varias formas naturales de elegir una forma integral de los octoniones. La más sencilla consiste simplemente en tomar los octoniones cuyas coordenadas son números enteros . Esto da un álgebra no asociativa sobre los números enteros llamada octoniones gravesianos. Sin embargo, no es un orden máximo (en el sentido de la teoría de anillos); hay exactamente siete órdenes máximos que lo contienen. Estos siete órdenes máximos son todos equivalentes bajo automorfismos. La frase "octoniones integrales" generalmente se refiere a una elección fija de uno de estos siete órdenes.

Estos órdenes máximos fueron construidos por Kirmse (1924), Dickson y Bruck de la siguiente manera. Etiquete los ocho vectores base por los puntos de la línea proyectiva sobre el cuerpo con siete elementos. Primero forme los "enteros de Kirmse": estos consisten en octoniones cuyas coordenadas son números enteros o semienteros, y que son semienteros (es decir, mitades de números enteros impares) en uno de los 16 conjuntos

∅ (∞124) (∞235) (∞346) (∞450) (∞561) (∞602) (∞013) (∞0123456) (0356) (1460) (2501) (3612) (4023) (5134 ) (6245)

del código de residuo cuadrático extendido de longitud 8 sobre el cuerpo de dos elementos, dado por ∅ , (∞124) y sus imágenes bajo la adición de una constante módulo 7, y los complementos de estos ocho conjuntos. Luego intercambiamos el infinito y cualquier otra coordenada; esta operación crea una biyección de los enteros de Kirmse sobre un conjunto diferente, que es un orden máximo. Hay siete maneras de hacer esto, dando siete órdenes máximos, que son todos equivalentes bajo permutaciones cíclicas de las siete coordenadas 0123456. (Kirmse afirmó incorrectamente que los enteros de Kirmse también forman un orden máximo, por lo que pensó que había ocho órdenes máximos en lugar de siete, pero como Coxeter (1946) señaló, no están cerrados bajo la multiplicación; este error ocurre en varios artículos publicados).

Los números enteros de Kirmse y los siete órdenes máximos son todos isométricos a la red E 8 reescalada por un factor de 1 ⁄ √ 2 . En particular, hay 240 elementos de norma mínima distinta de cero 1 en cada uno de estos órdenes, formando un bucle de Moufang de orden 240.

Los octoniones integrales tienen una propiedad de "división con resto": dados los octoniones integrales a y b ≠ 0 , podemos encontrar q y r con a = qb + r , donde el resto r tiene norma menor que la de b .

En los octoniones integrales, todos los ideales izquierdos y derechos son ideales bilaterales, y los únicos ideales bilaterales son los ideales principales nO donde n es un entero no negativo.

Los octoniones integrales tienen una versión de factorización en primos, aunque no es sencillo de enunciar porque los octoniones no son asociativos, por lo que el producto de octoniones depende del orden en que se realizan los productos. Los octoniones integrales irreducibles son exactamente los de norma prima, y ​​cada octoniones integrales se puede escribir como un producto de octoniones irreducibles. Más precisamente, un octoniones integrales de norma mn se puede escribir como un producto de octoniones integrales de normas m y n .

El grupo de automorfismo de los octoniones integrales es el grupo G ₂ ( F ₂ ) de orden 12.096, que tiene un subgrupo simple de índice 2 isomorfo al grupo unitario ² A ₂ (3 ² ) . El grupo de isotopía de los octoniones integrales es la doble cubierta perfecta del grupo de rotaciones de la red E ₈ .

Véase también

• Colector G2_​
• Álgebra de octoniones
• Álgebra de Okubo
• Variedad Spin(7)
• Girar(8)
• Octoniones divididos
• Trialidad

Notas

1. Sabadini, Irene; Shapiro, Michael; Sommen, Franciscus (21 de abril de 2009), Análisis hipercomplejo, Springer Science & Business Media, ISBN 978-3-7643-9893-4
2. (Tumbas 1845)
3. Cayley, Arthur (1845), "Sobre las funciones elípticas de Jacobi, en respuesta al reverendo Brice Bronwin; y sobre los cuaterniones", Philosophical Magazine , 26 (172): 208–211, doi :10.1080/14786444508645107Apéndice reimpreso en The Collected Mathematical Papers , Johnson Reprint Co., Nueva York, 1963, pág. 127
4. Hamilton (1848), "Nota, de Sir WR Hamilton, respecto de las investigaciones de John T. Graves, Esq.", Transactions of the Royal Irish Academy , 21 : 338–341
5. Gentili, G.; Stoppato, C.; Struppa, DC; Vlacci, F. (2009), "Desarrollos recientes para funciones regulares de una variable hipercompleja", en Sabadini, I .; Shapiro, M.; Sommen, F. (eds.), Análisis hipercomplejo , Birkhäuser , pág. 168, ISBN 978-3-7643-9892-7– a través de Google Books
6. Sabinin, LV; Sbitneva, L.; Shestakov, IP (2006), "§17.2 Álgebra de octoniones y su representación bimódulo regular", Álgebra no asociativa y sus aplicaciones , Boca Raton, FL: CRC Press, pág. 235, ISBN 0-8247-2669-3– a través de Google Books
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8. Schray, Jörg; Manogue, Corinne A. (enero de 1996), "Representaciones octoniónicas de álgebras de Clifford y trialidad", Foundations of Physics , 26 (1): 17–70, arXiv : hep-th/9407179 , Bibcode :1996FoPh...26...17S, doi :10.1007/BF02058887, S2CID  119604596

   Disponible como "preimpresión", ArXive, en particular la Figura 1 ( .png ) , ArXive (imagen)

9. (Baez 2002, pág. 6)
10. Dray, Tevian y Manogue, Corinne A. (2004), "Capítulo 29: Uso de octoniones para describir partículas fundamentales", en Abłamowicz, Rafał (ed.), Clifford Algebras: Aplicaciones a las matemáticas, la física y la ingeniería , Birkhäuser , Figura 29.1: Representación de la tabla de multiplicar en el plano proyectivo. pág. 452, ISBN 0-8176-3525-4– a través de Google Books
11. Baez (2002), págs. 37-38
12. (Conway y Smith 2003, cap. 8.6)
13. (Conway y Smith 2003, cap. 8)
14. Baez (2002), sección 4.
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Enlaces externos

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