Método numérico

Herramienta matemática para resolver ecuaciones algorítmicamente

En análisis numérico , un método numérico es una herramienta matemática diseñada para resolver problemas numéricos. La implementación de un método numérico con una verificación de convergencia adecuada en un lenguaje de programación se denomina algoritmo numérico.

Definición matemática

Sea un problema bien planteado , es decir, una relación funcional real o compleja , definida sobre el producto cruzado de un conjunto de datos de entrada y un conjunto de datos de salida , tal que existe localmente una función de Lipschitz llamada resolutiva, que tiene la propiedad de que para cada raíz de , . Definimos método numérico para la aproximación de la secuencia de problemas. ${\displaystyle F(x,y)=0}$ ${\displaystyle F:X\times Y\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle g:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle y=g(x)}$ ${\displaystyle F(x,y)=0}$

${\displaystyle \left\{M_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }=\left\{F_{n}(x_{n},y_{n})=0\right\}_{n\in \mathbb {N} },}$

con y para cada . Los problemas en que consiste el método no necesitan estar bien planteados. Si es así, se dice que el método es estable o está bien planteado . ^[1] ${\displaystyle F_{n}:X_{n}\times Y_{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{n}\in X_{n}}$ ${\displaystyle y_{n}\in Y_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Consistencia

Las condiciones necesarias para que un método numérico se aproxime efectivamente son que y que se comporte como cuando . Entonces, un método numérico se llama consistente si y solo si la secuencia de funciones converge puntualmente en el conjunto de sus soluciones: ${\displaystyle F(x,y)=0}$ ${\displaystyle x_{n}\rightarrow x}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle \left\{F_{n}\right\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \lim F_{n}(x,y+t)=F(x,y,t)=0,\quad \quad \forall (x,y,t)\in S.}$

Cuando se dice que el método es estrictamente consistente . ^[1] ${\displaystyle F_{n}=F,\forall n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S}$

Convergencia

Denota por una secuencia de perturbaciones admisibles de para algún método numérico (es decir ) y con el valor tal que . Una condición que el método debe cumplir para ser una herramienta significativa para resolver el problema es la convergencia : ${\displaystyle \ell _{n}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x+\ell _{n}\in X_{n}\forall n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle y_{n}(x+\ell _{n})\in Y_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}(x+\ell _{n},y_{n}(x+\ell _{n}))=0}$ ${\displaystyle F(x,y)=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}(\varepsilon )>0,\exists \delta _{\varepsilon ,n_{0}}{\text{ such that}}\\&\forall n>n_{0},\forall \ell _{n}:\|\ell _{n}\|<\delta _{\varepsilon ,n_{0}}\Rightarrow \|y_{n}(x+\ell _{n})-y\|\leq \varepsilon .\end{aligned}}}$

Se puede demostrar fácilmente que la convergencia puntual de to implica la convergencia del método asociado es función. ^[1] ${\displaystyle \{y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle y}$

Ver también

• Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias.
• Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales.

Referencias

1. Quarteroni, Sacco, Saleri (2000). Matemáticas Numéricas (PDF) . Milán: Springer. pag. 33. Archivado desde el original (PDF) el 14 de noviembre de 2017 . Consultado el 27 de septiembre de 2016 .{{cite book}}: Mantenimiento CS1: varios nombres: lista de autores ( enlace )