La física a menudo trata con modelos clásicos donde las variables dinámicas son una colección de funciones { φ α } α sobre una variedad de espacio/espacio-tiempo M de dimensión d, donde α es el índice de " sabor ". Esto involucra funcionales sobre los φ' s, derivadas funcionales , integrales funcionales , etc. Desde un punto de vista funcional, esto es equivalente a trabajar con una variedad lisa de dimensión infinita donde sus puntos son una asignación de una función para cada α , y el procedimiento es análogo a la geometría diferencial donde las coordenadas para un punto x de la variedad M son φ α ( x ).
En la notación DeWitt (llamada así en honor al físico teórico Bryce DeWitt ), φ α ( x ) se escribe como φ i, donde i ahora se entiende como un índice que cubre tanto a α como a x .
Entonces, dado un funcional suave A , A , i representa la derivada funcional
como funcional de φ . En otras palabras, un campo de " 1-forma " sobre la "variedad funcional" de dimensión infinita.
En las integrales, se utiliza la convención de suma de Einstein . Alternativamente,
![{\displaystyle A_{,i}[\varphi ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\delta }{\delta \varphi ^{\alpha }(x)}} A[\varphi]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5e783fb1c65b30a72eec395a1ee1afe6025947e)
