Forma normal (sistemas dinámicos)

En matemáticas , la forma normal de un sistema dinámico es una forma simplificada que puede ser útil para determinar el comportamiento del sistema.

Las formas normales se utilizan a menudo para determinar bifurcaciones locales en un sistema. Todos los sistemas que presentan un determinado tipo de bifurcación son localmente (alrededor del equilibrio) topológicamente equivalentes a la forma normal de la bifurcación. Por ejemplo, la forma normal de una bifurcación de nodo en silla de montar es

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=\mu +x^{2}}$

donde es el parámetro de bifurcación. La bifurcación transcrítica ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=r\ln x+x-1}$

Cerca se puede convertir a la forma normal ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=\mu u-u^{2}+O(u^{3})}$

con la transformación . ^[1] ${\displaystyle u=x-1,\mu =r+1}$

Véase también forma canónica para el uso de los términos forma canónica , forma normal o forma estándar de forma más general en matemáticas.

Referencias

1. Strogatz, Steven. "Dinámica no lineal y caos". Westview Press, 2001. pág. 52.

Lectura adicional

• Guckenheimer, John; Holmes, Philip (1983), Oscilaciones no lineales, sistemas dinámicos y bifurcaciones de campos vectoriales , Springer, Sección 3.3, ISBN 0-387-90819-6
• Kuznetsov, Yuri A. (1998), Elementos de la teoría de la bifurcación aplicada (segunda edición), Springer, Sección 2.4, ISBN 0-387-98382-1
• Murdock, James (2006). "Formas normales". Scholarpedia . 1 (10): 1902. Bibcode :2006SchpJ...1.1902M. doi : 10.4249/scholarpedia.1902 .
• Murdock, James (2003). Formas normales y desdoblamientos para sistemas dinámicos locales . Springer. ISBN 978-0-387-21785-7.