Mesa normal estándar

En estadística , una tabla normal estándar , también llamada tabla normal unitaria o tabla Z , ^[1] es una tabla matemática para los valores de $Φ$ , la función de distribución acumulativa de la distribución normal . Se utiliza para encontrar la probabilidad de que una estadística se observe debajo, encima o entre valores de la distribución normal estándar y, por extensión, de cualquier distribución normal. Dado que las tablas de probabilidad no se pueden imprimir para cada distribución normal, ya que existe una variedad infinita de distribuciones normales, es una práctica común convertir una normal en una normal estándar (conocida como puntuación z ) y luego usar la tabla normal estándar para encontrar probabilidades. ^[2]

Distribución normal normal y estándar.

Las distribuciones normales son distribuciones simétricas en forma de campana que son útiles para describir datos del mundo real. La distribución normal estándar , representada por $Z$ , es la distribución normal que tiene una media de 0 y una desviación estándar de 1.

Conversión

Si $X$ es una variable aleatoria de una distribución normal con media $μ$ y desviación estándar $σ$ , su puntuación Z se puede calcular a partir de $X$ restando $μ$ y dividiendo por la desviación estándar:

Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}

Si es la media de una muestra de tamaño $n$ de alguna población en la que la media es $μ$ y la desviación estándar es $σ$ , el error estándar es ${\overline {X}}$ ${\tfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}:$

Z={\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}

Si es el total de una muestra de tamaño $n$ de alguna población en la que la media es $μ$ y la desviación estándar es $σ$ , el total esperado es $nμ$ y el error estándar es ${\estilo de texto \sum X}$ $\sigma {\sqrt {n}}:$

Z={\frac {\sum {X}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}

Leer una tabla Z

Formato/diseño

$Las tablas Z$ normalmente se componen de la siguiente manera:

La etiqueta de las filas contiene la parte entera y el primer decimal de $Z.$
La etiqueta de las columnas contiene el segundo decimal de $Z.$
Los valores dentro de la tabla son las probabilidades correspondientes al tipo de tabla. Estas probabilidades son cálculos del área bajo la curva normal desde el punto de partida (0 para acumulativo de media , infinito negativo para acumulativo e infinito positivo para acumulativo complementario ) hasta $Z.$

Ejemplo: para encontrar 0,69 , uno miraría hacia abajo en las filas para encontrar 0,6 y luego a través de las columnas hasta 0,09 , lo que produciría una probabilidad de 0,25490 para una tabla de medias acumulada o 0,75490 de una tabla acumulada .

Para encontrar un valor negativo como -0,83 , se podría utilizar una tabla acumulativa para valores z negativos ^[3] que arroja una probabilidad de 0,20327 .

Pero como la curva de distribución normal es simétrica, normalmente se dan probabilidades sólo para valores positivos de $Z.$ Es posible que el usuario tenga que utilizar una operación complementaria sobre el valor absoluto de $Z$ , como en el siguiente ejemplo.

tipos de mesas

$Las tablas Z$ utilizan al menos tres convenciones diferentes:

Acumulado de la media: da una probabilidad de que una estadística esté entre 0 (media) y $Z.$ Ejemplo: $Prob(0 \leq Z \leq 0,69) = 0,2549$ .
Acumulativo: da una probabilidad de que una estadística sea menor que $Z$ . Esto equivale al área de la distribución por debajo de $Z.$ Ejemplo: $Prob(Z \leq 0,69) = 0,7549$ .
Acumulado complementario: da una probabilidad de que una estadística sea mayor que $Z$ . Esto equivale al área de la distribución por encima de $Z.$; Ejemplo: Encuentre $el problema (Z \geq 0,69)$ . Dado que esta es la porción del área sobre $Z$ , la proporción que es mayor que $Z$ se encuentra restando $Z$ de 1. Es decir, $Prob(Z \geq 0,69) = 1 - Prob(Z \leq 0,69)$ o $Prob(Z \geq 0,69) = 1 - 0,7549 = 0,2451$ .

Ejemplos de tablas

Acumulado desde menos infinito hasta Z

Esta tabla da una probabilidad de que una estadística esté entre menos infinito y $Z.$

f(z)=\Phi (z)

Los valores se calculan utilizando la función de distribución acumulativa de una distribución normal estándar con media cero y desviación estándar de uno, generalmente denotada con la letra griega mayúscula ( phi ), es la integral $\Phi$

\Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{z}e^{-t^{2}/2}\ ,dt

$\Phi$ (z) está relacionado con la función de error , o $erf(z)$ .

\Phi (z)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\ bien]

Tenga en cuenta que para $z = 1, 2, 3$ , se obtiene (después de multiplicar por 2 para tener en cuenta el intervalo $[- z, z]$ ) los resultados $f (z) = 0,6827, 0,9545, 0,9974$ , característicos del 68–95– Regla 99,7 .

Acumulado (menos que Z)

Esta tabla da una probabilidad de que una estadística sea menor que $Z$ (es decir, entre infinito negativo y $Z$ ).

^[4]

Acumulado complementario

Esta tabla proporciona una probabilidad de que una estadística sea mayor que $Z.$

f(z)=1-\Phi (z)

^[5]

Esta tabla proporciona una probabilidad de que una estadística sea mayor que Z , para valores enteros grandes de Z.

Ejemplos de uso

Los puntajes de los exámenes de un profesor se distribuyen aproximadamente normalmente con media 80 y desviación estándar 5. Solo está disponible una tabla acumulativa de la media .

¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga una puntuación de 82 o menos? ${\begin{aligned}P(X\leq 82)&=P\!\!\left(Z\leq {\frac {82-80}{5}}\right)\\&=P( Z\leq 0.40)\\[2pt]&=0.15542+0.5\\[2pt]&=0.65542\end{aligned}}$
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga una puntuación de 90 o más? ${\begin{aligned}P(X\geq 90)&=P\!\!\left(Z\geq {\frac {90-80}{5}}\right)\\&=P( Z\geq 2.00)\\[2pt]&=1-P(Z\leq 2.00)\\[2pt]&=1-(0.47725+0.5)\\[2pt]&=0.02275\end{aligned}}$
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga una puntuación de 74 o menos? ${\begin{aligned}P(X\leq 74)&=P\!\!\left(Z\leq {\frac {74-80}{5}}\right)\\&=P( Z\leq -1.20)\end{aligned}}$ Dado que esta tabla no incluye negativos, el proceso implica el siguiente paso adicional: ${\begin{aligned}\qquad \qquad \quad ={}&P(Z\geq 1.20)\\[2pt]={}&1-(0.38493+0.5)\\[2pt]={}&0. 11507\end{aligned}}$
¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga una puntuación entre 74 y 82? ${\begin{aligned}P(74\leq X\leq 82)&=P(X\leq 82)-P(X\leq 74)\\[2pt]&=0.65542-0.11507\\[2pt ]&=0.54035\end{aligned}}$
¿Cuál es la probabilidad de que un promedio de tres puntajes sea 82 o menos? ${\begin{aligned}P(X\leq 82)&=P\left(Z\leq {\frac {82-80}{5/{\sqrt {3}}}}\right)\\ &=P(Z\leq 0.69)\\[2pt]&=0.2549+0.5\\[2pt]&=0.7549\end{aligned}}$

Ver también

Referencias

^ "Tabla Z. Historia de la tabla Z. Puntuación Z" . Consultado el 21 de diciembre de 2018 .
^ Larson, Ron; Farber, Elizabeth (2004). Estadística elemental: imaginando el mundo . 清华大学出版社. pag. 214.ISBN 7-302-09723-2.
^ "Cómo utilizar una tabla Z". ztable.io . Consultado el 9 de enero de 2023 .
^ 0,5 + cada valor en Acumulado de la tabla de medias
^ 0,5 - cada valor en la tabla Acumulado de media (0 a Z)