Generalización de espacios de Sobolev.
En matemáticas , el espacio de Besov (llamado así por Oleg Vladimirovich Besov ) es un espacio cuasinormado completo que es un espacio de Banach cuando 1 ≤ p , q ≤ ∞ . Estos espacios, así como los espacios de Triebel-Lizorkin definidos de manera similar , sirven para generalizar espacios funcionales más elementales , como los espacios de Sobolev, y son eficaces para medir las propiedades de regularidad de las funciones.
Definición
Existen varias definiciones equivalentes. Uno de ellos se detalla a continuación.
Dejar
![{\displaystyle \Delta _ {h}f(x)=f(xh)-f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y definir el módulo de continuidad por
![{\displaystyle \omega _{p}^{2}(f,t)=\sup _{|h|\leq t}\left\|\Delta _{h}^{2}f\right\|_ {pags}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Sea n un número entero no negativo y defina: s = n + α con 0 < α ≤ 1 . El espacio de Besov contiene todas las funciones f tales que![{\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\in W^{n,p}(\mathbf {R} ),\qquad \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2 }\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}<\infty .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Norma
El espacio Besov está equipado con la norma.![{\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left\|f\right\|_{B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}=\left(\|f\|_{W^{n,p} (\mathbf {R} )}^{q}+\int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n) },t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los espacios de Besov coinciden con los espacios de Sobolev más clásicos .
![{\displaystyle H^{s}(\mathbf {R} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si y no es un número entero, entonces , donde denota el espacio de Sobolev-Slobodeckij .![{\displaystyle p=q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B_{p,p}^{s}(\mathbf {R} )={\bar {W}}^{s,p}(\mathbf {R} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\bar {W}}^{s,p}(\mathbf {R} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias
- Triebel, Hans (1992). Teoría de los Espacios Funcionales II . doi :10.1007/978-3-0346-0419-2. ISBN 978-3-0346-0418-5.
- Besov, OV (1959). "Sobre algunas familias de espacios funcionales. Teoremas de incrustación y extensión". Dokl. Akád. Nauk SSSR (en ruso). 126 : 1163-1165. SEÑOR 0107165.
- DeVore, R. y Lorentz, G. "Aproximación constructiva", 1993.
- DeVore, R., Kyriazis, G. y Wang, P. "Caracterizaciones multiescala de espacios de Besov en dominios acotados", Journal of Approximation Theory 93, 273-292 (1998).
- Leoni, Giovanni (2017). Un primer curso en espacios de Sobolev: segunda edición . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 181 . Sociedad Matemática Estadounidense. págs.734. ISBN 978-1-4704-2921-8