Representación decimal

Expresión de números como secuencias de dígitos

Una representación decimal de un número real no negativo r es su expresión como una secuencia de símbolos que consiste en dígitos decimales tradicionalmente escritos con un solo separador: Aquí . es el separador decimal , k es un entero no negativo , y son dígitos , que son símbolos que representan números enteros en el rango 0, ..., 9. $${\displaystyle r=b_{k}b_{k-1}\cdots b_{0}.a_{1}a_{2}\cdots }$$ ${\displaystyle b_{0},\cdots ,b_{k},a_{1},a_{2},\cdots }$

Comúnmente, si La secuencia de los —los dígitos después del punto— es generalmente infinita . Si es finita, se supone que los dígitos faltantes son 0. Si todos son 0 , también se omite el separador, lo que da como resultado una secuencia finita de dígitos, que representa un número natural . ${\displaystyle b_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle k\geq 1.}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

La representación decimal representa la suma infinita : $${\displaystyle r=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}}.}$$

Todo número real no negativo tiene al menos una de estas representaciones; tiene dos de estas representaciones (con if ) si y solo si una tiene una secuencia infinita final de 0 y la otra tiene una secuencia infinita final de 9. Para tener una correspondencia uno a uno entre números reales no negativos y representaciones decimales, a veces se excluyen las representaciones decimales con una secuencia infinita final de 9. ^[1] ${\displaystyle b_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle k>0}$

Partes enteras y fraccionarias

El número natural , se denomina parte entera de r y se denota con un ₀ en el resto de este artículo. La secuencia de los representa el número que pertenece al intervalo y se denomina parte fraccionaria de r (excepto cuando todos son iguales a 9 ). ${\textstyle \sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ $${\displaystyle 0.a_{1}a_{2}\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}},}$$ ${\displaystyle [0,1),}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Aproximaciones decimales finitas

Cualquier número real puede aproximarse a cualquier grado deseado de precisión mediante números racionales con representaciones decimales finitas.

Supongamos que . Entonces, para cada entero existe un decimal finito tal que: ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$

$${\displaystyle r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.}$$

Demostración : Sea , donde . Entonces , y el resultado se deduce de dividir todos los lados por . (El hecho de que tiene una representación decimal finita se establece fácilmente). ${\displaystyle r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}}$ ${\displaystyle p=\lfloor 10^{n}x\rfloor }$ ${\displaystyle p\leq 10^{n}x<p+1}$ ${\displaystyle 10^{n}}$ ${\displaystyle r_{n}}$

No unicidad de la representación decimal y convenciones de notación

Algunos números reales tienen dos representaciones decimales infinitas. Por ejemplo, el número 1 puede representarse tanto por 1.000... como por 0.999... (donde las secuencias infinitas de 0 o 9 finales, respectivamente, se representan por "..."). Por convención, se prefiere la representación decimal sin 9 finales. Además, en la representación decimal estándar de , se omite una secuencia infinita de 0 finales que aparecen después del punto decimal , junto con el punto decimal mismo si es un entero. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Ciertos procedimientos para construir la expansión decimal de evitarán el problema de los 9 finales. Por ejemplo, el siguiente procedimiento algorítmico dará la representación decimal estándar: Dado , primero definimos (la parte entera de ) como el entero más grande tal que (es decir, ). Si el procedimiento termina. De lo contrario, para ya encontrado, definimos inductivamente como el entero más grande tal que: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a_{0}\leq x}$ ${\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle x=a_{0}}$ ${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$ ${\displaystyle a_{k}}$

El procedimiento termina siempre que se encuentre tal que se cumpla la igualdad en ( * ); de lo contrario, continúa indefinidamente para dar una secuencia infinita de dígitos decimales. Se puede demostrar que ^[2] (escrito convencionalmente como ), donde y el entero no negativo se representa en notación decimal . Esta construcción se extiende a aplicando el procedimiento anterior a y denotando la expansión decimal resultante por . ${\displaystyle a_{k}}$ ${\textstyle x=\sup _{k}\left\{\sum _{i=0}^{k}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}\right\}}$ ${\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\ldots \in \{0,1,2,\ldots ,9\},}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle -x>0}$ ${\displaystyle -a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$

Tipos

Finito

La expansión decimal del número real no negativo x terminará en ceros (o en nueves) si, y sólo si, x es un número racional cuyo denominador es de la forma 2 ⁿ 5 ^m , donde m y n son números enteros no negativos.

Prueba :

Si la expansión decimal de x termina en ceros, o para algún n , entonces el denominador de x tiene la forma 10 ⁿ = 2 ⁿ 5 ⁿ . ${\textstyle x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}}$

Por el contrario, si el denominador de x tiene la forma 2 ⁿ 5 ^m , para algún p . Mientras que x tiene la forma , para algún n . Por , x terminará en ceros. ${\displaystyle x={\frac {p}{2^{n}5^{m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5^{n+m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {p}{10^{k}}}}$ ${\displaystyle p=\sum _{i=0}^{n}10^{i}a_{i}}$ ${\displaystyle x=\sum _{i=0}^{n}10^{n-i}a_{i}/10^{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}}$

Infinito

Representaciones decimales repetidas

Algunos números reales tienen expansiones decimales que eventualmente terminan en bucles, repitiendo infinitamente una secuencia de uno o más dígitos:

1 ⁄ 3 = 0,33333...

1 ⁄ 7 = 0,142857142857...

1318 ⁄ 185 = 7,1243243243...

Cada vez que esto sucede, el número sigue siendo un número racional (es decir, puede representarse alternativamente como el cociente de un entero y un entero positivo). También es cierto lo inverso: la expansión decimal de un número racional es finita o se repite infinitamente.

Las representaciones decimales finitas también pueden considerarse un caso especial de representaciones decimales infinitas y repetitivas. Por ejemplo, 36 ⁄ 25 = 1,44 = 1,4400000...; la secuencia repetida infinitamente es la secuencia de un dígito "0".

Representaciones decimales no periódicas

Otros números reales tienen expansiones decimales que nunca se repiten. Estos son precisamente los números irracionales , números que no se pueden representar como un cociente de números enteros. Algunos ejemplos conocidos son:

√ 2 = 1,41421356237309504880...

  y   = 2,71828182845904523536...

  π   = 3,14159265358979323846...

Conversión a fracción

Cada representación decimal de un número racional se puede convertir en una fracción convirtiéndola en una suma de las partes enteras, no repetitivas y repetitivas y luego convirtiendo esa suma en una sola fracción con un denominador común.

Por ejemplo, para convertir a fracción se toma en cuenta el lema: ${\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}0.000{\overline {4567}}&=4567\times 0.000{\overline {0001}}\\&=4567\times 0.{\overline {0001}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&=4567\times {\frac {1}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{The exponents are the number of non-repeating digits after the decimal point (3) and the number of repeating digits (4).}}\end{aligned}}}$$

De esta manera se convierte de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.123{\overline {4567}}&=\pm \left(8+{\frac {123}{10^{3}}}+{\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}\right)&{\text{from above}}\\&=\pm {\frac {8\times (10^{4}-1)\times 10^{3}+123\times (10^{4}-1)+4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81226444}{9999000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {20306611}{2499750}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}}$$

Si no hay dígitos repetidos, se supone que hay un 0 que se repite eternamente, por ejemplo , aunque como eso hace que el término repetido sea cero, la suma se simplifica a dos términos y una conversión más simple. ${\displaystyle 1.9=1.9{\overline {0}}}$

Por ejemplo: $${\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.1234&=\pm \left(8+{\frac {1234}{10^{4}}}\right)&\\&=\pm {\frac {8\times 10^{4}+1234}{10^{4}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81234}{10000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {40617}{5000}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}}$$

Véase también

• Decimal
• Serie (matemáticas)
• IEEE 754
• Simón Stevin

Referencias

1. Knuth, Donald Ervin (1973). El arte de la programación informática . Vol. 1: Algoritmos fundamentales. Addison-Wesley . pág. 21.
2. Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Nueva York: McGraw-Hill . pág. 11. ISBN. 0-07-054235-X.

Lectura adicional

• Apostol, Tom (1974). Análisis matemático (Segunda ed.). Addison-Wesley .
• Savard, John JG (2018) [2006]. «Representaciones decimales». quadibloc . Archivado desde el original el 2018-07-16 . Consultado el 2018-07-16 .