En lógica , los lenguajes formales que se utilizan para crear expresiones consisten en símbolos , que pueden dividirse en general en constantes y variables . Las constantes de un lenguaje pueden dividirse a su vez en símbolos lógicos y símbolos no lógicos (a veces también llamados constantes lógicas y no lógicas ).
Los símbolos no lógicos de un lenguaje de lógica de primer orden consisten en predicados y constantes individuales. Estos incluyen símbolos que, en una interpretación, pueden representar constantes individuales, variables , funciones o predicados . Un lenguaje de lógica de primer orden es un lenguaje formal sobre el alfabeto que consiste en sus símbolos no lógicos y sus símbolos lógicos . Estos últimos incluyen conectivos lógicos , cuantificadores y variables que representan enunciados .
Un símbolo no lógico sólo tiene significado o contenido semántico cuando se le asigna uno mediante una interpretación . En consecuencia, una oración que contiene un símbolo no lógico carece de significado excepto bajo una interpretación, por lo que se dice que una oración es verdadera o falsa bajo una interpretación . Estos conceptos se definen y analizan en el artículo sobre lógica de primer orden , y en particular en la sección sobre sintaxis .
Las constantes lógicas , por el contrario, tienen el mismo significado en todas las interpretaciones. Incluyen los símbolos de los conectores veritativo-funcionales (como "y", "o", "no", "implica" y equivalencia lógica ) y los símbolos de los cuantificadores "para todo" y "existe".
El símbolo de igualdad a veces se considera un símbolo no lógico y a veces se considera un símbolo de lógica. Si se lo considera un símbolo lógico, se requerirá cualquier interpretación para interpretar el signo de igualdad utilizando la igualdad verdadera; si se lo interpreta como un símbolo no lógico, se lo puede interpretar mediante una relación de equivalencia arbitraria .
Una firma es un conjunto de constantes no lógicas junto con información adicional que identifica cada símbolo como un símbolo de constante, o un símbolo de función de una aridad específica n (un número natural), o un símbolo de relación de una aridad específica. La información adicional controla cómo se pueden usar los símbolos no lógicos para formar términos y fórmulas. Por ejemplo, si f es un símbolo de función binaria y c es un símbolo de constante, entonces f ( x , c ) es un término, pero c ( x , f ) no es un término. Los símbolos de relación no se pueden usar en términos, pero se pueden usar para combinar uno o más términos (dependiendo de la aridad) en una fórmula atómica.
Por ejemplo, una firma podría constar de un símbolo de función binaria +, un símbolo de constante 0 y un símbolo de relación binaria <.
Las estructuras sobre una firma, también conocidas como modelos , proporcionan semántica formal a una firma y al lenguaje de primer orden sobre ella.
Una estructura sobre una firma consiste en un conjunto (conocido como el dominio del discurso ) junto con interpretaciones de los símbolos no lógicos: Cada símbolo constante es interpretado por un elemento de y la interpretación de un símbolo de función -aria es una función -aria en es decir, una función del producto cartesiano -fold del dominio por el dominio mismo. Cada símbolo de relación -aria es interpretado por una relación -aria en el dominio; es decir, por un subconjunto de
Un ejemplo de una estructura sobre la firma mencionada anteriormente es el grupo ordenado de números enteros . Su dominio es el conjunto de números enteros. El símbolo de función binaria se interpreta por la suma, el símbolo de constante 0 por la identidad aditiva y el símbolo de relación binaria < por la relación menor que.
Fuera de un contexto matemático, a menudo es más apropiado trabajar con interpretaciones más informales.
Rudolf Carnap introdujo una terminología que distingue entre símbolos lógicos y no lógicos (a los que llamó signos descriptivos ) de un sistema formal bajo un cierto tipo de interpretación , definido por lo que describen en el mundo.
Un signo descriptivo se define como cualquier símbolo de un lenguaje formal que designa cosas o procesos en el mundo, o propiedades o relaciones de cosas. Esto contrasta con los signos lógicos que no designan nada en el mundo de los objetos. El uso de los signos lógicos está determinado por las reglas lógicas del lenguaje, mientras que el significado se asigna arbitrariamente a los signos descriptivos cuando se aplican a un dominio dado de individuos. [1]
