Espacio convexo

En matemáticas , un espacio convexo (o álgebra baricéntrica ) es un espacio en el que es posible tomar combinaciones convexas de cualquier conjunto de puntos. ^[1]^[2]

Definición formal

Un espacio convexo se puede definir como un conjunto equipado con una operación de combinación convexa binaria para cada uno de los cuales satisface: ${\estilo de visualización X}$ $c_{\lambda}:X\veces X\rightarrow X$ $\lambda \en [0,1]$

$Estilo de visualización c_{0}(x,y)=x$
$Estilo de visualización c_{1}(x,y)=y}$
$c_{\lambda}(x,x)=x$
$c_{\lambda}(x,y)=c_{1-\lambda}(y,x)$
$c_{\lambda}(x,c_{\mu}(y,z))=c_{\lambda \mu}\left(c_{\frac {\lambda (1-\mu )}{1-\lambda \mu }}(x,y),z\right)$ (para ) $\lambda \mu \neq 1$

A partir de esto, es posible definir una operación de combinación convexa n-aria, parametrizada por una n-tupla , donde . $(\lambda _{1},\puntos ,\lambda _{n})$ $\suma _{i}\lambda _{i}=1$

Ejemplos

Cualquier espacio afín real es un espacio convexo. En términos más generales, cualquier subconjunto convexo de un espacio afín real es un espacio convexo.

Historia

Los espacios convexos se han inventado de forma independiente muchas veces y se les han dado diferentes nombres, al menos desde Stone (1949). ^[3] También fueron estudiados por Neumann (1970) ^[4] y Świrszcz (1974), ^[5] entre otros.

Referencias

^ "Espacio convexo". nLab . Consultado el 3 de abril de 2023 .
^ Fritz, Tobias (2009). "Espacios convexos I: definición y ejemplos". arXiv : 0903.5522 [math.MG].
^ Piedra, Marshall Harvey (1949). "Postulados del cálculo baricéntrico". Annali di Matematica Pura ed Applicata . 29 : 25–30. doi :10.1007/BF02413910. S2CID 122252152.
^ Neumann, Walter David (1970). "Sobre la cuasivariedad de subconjuntos convexos de espacios afines". Archiv der Mathematik . 21 : 11–16. doi :10.1007/BF01220869. S2CID 124051153.
^ Świrszcz, Tadeusz (1974). "Funtores monádicos y convexidad". Bulletin l'Académie Polonaise des Science, Série des Sciences Mathématiques, Astronomiques et Physiques . 22 : 39–42.