Matriz de próxima generación

En epidemiología , la matriz de próxima generación se utiliza para derivar el número básico de reproducción , para un modelo compartimental de la propagación de enfermedades infecciosas . En dinámica de poblaciones, se utiliza para calcular el número básico de reproducción para modelos de población estructurados. ^[1] También se utiliza en modelos de ramificación de múltiples tipos para cálculos análogos. ^[2]

El método para calcular la tasa básica de reproducción utilizando la matriz de próxima generación es proporcionado por Diekmann et al. (1990) ^[3] y van den Driessche y Watmough (2002). ^[4] Para calcular el número básico de reproducción utilizando una matriz de próxima generación, toda la población se divide en compartimentos en los que hay compartimentos infectados. Sea el número de individuos infectados en el compartimento infectado en el momento  t . Ahora, el modelo epidémico es ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle x_{i},i=1,2,3,\ldots ,m}$ ${\displaystyle i^{th}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x_{i}}{\mathrm {d} t}}=F_{i}(x)-V_{i}(x)}$, dónde ${\displaystyle V_{i}(x)=[V_{i}^{-}(x)-V_{i}^{+}(x)]}$

En las ecuaciones anteriores, representa la tasa de aparición de nuevas infecciones en el compartimento . representa la tasa de transferencia de individuos al compartimento por todos los demás medios y representa la tasa de transferencia de individuos fuera del compartimento . El modelo anterior también se puede escribir como ${\displaystyle F_{i}(x)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle V_{i}^{+}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle V_{i}^{-}(x)}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=F(x)-V(x)}$

dónde

${\displaystyle F(x)={\begin{pmatrix}F_{1}(x),&F_{2}(x),&\ldots ,&F_{m}(x)\end{pmatrix}}^{T}}$

y

${\displaystyle V(x)={\begin{pmatrix}V_{1}(x),&V_{2}(x),&\ldots ,&V_{m}(x)\end{pmatrix}}^{T}.}$

Sea el equilibrio libre de enfermedades. Los valores de las partes de la matriz jacobiana y son: ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle V(x)}$

${\displaystyle DF(x_{0})={\begin{pmatrix}F&0\\0&0\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle DV(x_{0})={\begin{pmatrix}V&0\\J_{3}&J_{4}\end{pmatrix}}}$

respectivamente.

Aquí, y son matrices m  ×  m , definidas como y . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F={\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})}$ ${\displaystyle V={\frac {\partial V_{i}}{\partial x_{j}}}(x_{0})}$

Ahora, la matriz se conoce como la matriz de próxima generación. El número de reproducción básico del modelo se da entonces por el valor propio de con el valor absoluto más grande (el radio espectral de ). Las matrices de próxima generación se pueden evaluar computacionalmente a partir de datos de observación, que a menudo es el enfoque más productivo cuando hay una gran cantidad de compartimentos. ^[5] ${\displaystyle FV^{-1}}$ ${\displaystyle FV^{-1}}$ ${\displaystyle FV^{-1}}$

Véase también

• Modelado matemático de enfermedades infecciosas

Referencias

1. Zhao, Xiao-Qiang (2017), "La teoría de las tasas básicas de reproducción", Sistemas dinámicos en biología de poblaciones , CMS Books in Mathematics, Springer International Publishing, págs. 285-315, doi :10.1007/978-3-319-56433-3_11, ISBN 978-3-319-56432-6
2. Mode, Charles J., 1927- (1971). Procesos de ramificación multitipo; teoría y aplicaciones . Nueva York: American Elsevier Pub. Co. ISBN 0-444-00086-0.OCLC 120182  .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
3. Diekmann, O.; Heesterbeek, JAP; Metz, JAJ (1990). "Sobre la definición y el cálculo de la tasa básica de reproducción R ₀ en modelos de enfermedades infecciosas en poblaciones heterogéneas". Journal of Mathematical Biology . 28 (4): 365–382. doi :10.1007/BF00178324. hdl : 1874/8051 . PMID  2117040. S2CID  22275430.
4. van den Driessche, P. ; Watmough, J. (2002). "Números de reproducción y equilibrios endémicos subumbral para modelos compartimentados de transmisión de enfermedades". Ciencias biológicas matemáticas . 180 (1–2): 29–48. doi :10.1016/S0025-5564(02)00108-6. PMID  12387915. S2CID  17313221.
5. von Csefalvay, Chris (2023), "Modelos compartimentados simples", Modelado computacional de enfermedades infecciosas , Elsevier, págs. 19-91, doi :10.1016/b978-0-32-395389-4.00011-6, ISBN 978-0-323-95389-4, consultado el 28 de febrero de 2023

Fuentes

• Ma, Zhien; Li, Jia (2009). Modelado dinámico y análisis de epidemias . World Scientific. ISBN 978-981-279-749-0.OCLC 225820441  .
• Diekmann, O.; Heesterbeek, JAP (2000). Epidemiología matemática de las enfermedades infecciosas . John Wiley & Son.
• Heffernan, JM; Smith, RJ; Wahl, LM (2005). "Perspectivas sobre la tasa reproductiva básica". JR Soc. Interface . 2 (4): 281–93. doi :10.1098/rsif.2005.0042. PMC  1578275 . PMID  16849186.