Los números validados , o cálculo riguroso , cálculo verificado , cálculo confiable , verificación numérica ( alemán : Zuverlässiges Rechnen ) son números que incluyen una evaluación de errores matemáticamente estricta (error de redondeo, error de truncamiento, error de discretización), y es un campo de análisis numérico . Para el cálculo, se utiliza la aritmética de intervalos y todos los resultados se representan mediante intervalos. Warwick Tucker utilizó números validados para resolver el problema 14 de Smale , [1] y hoy en día se reconoce como una herramienta poderosa para el estudio de sistemas dinámicos . [2]
Importancia
El cálculo sin verificación puede provocar resultados desafortunados. A continuación se muestran algunos ejemplos.
El ejemplo de grupa
En la década de 1980, Rump dio un ejemplo. [3] [4] Hizo una función complicada y trató de obtener su valor. Los resultados de precisión simple, precisión doble y precisión extendida parecían correctos, pero su signo más-menos era diferente del valor real.
Solución fantasma
Breuer-Plum-McKenna utilizó el método del espectro para resolver el problema de valores en la frontera de la ecuación de Emden e informó que se obtuvo una solución asimétrica. [5] Este resultado del estudio entraba en conflicto con el estudio teórico de Gidas-Ni-Nirenberg que afirmaba que no existe una solución asimétrica. [6] La solución obtenida por Breuer-Plum-McKenna fue una solución fantasma causada por un error de discretización. Este es un caso raro, pero nos dice que cuando queremos discutir estrictamente ecuaciones diferenciales, se deben verificar las soluciones numéricas.
Accidentes causados por errores numéricos
Se conocen como accidentes causados por errores numéricos los siguientes ejemplos:
- Fracaso en la interceptación de misiles en la Guerra del Golfo (1991) [7]
- Fallo del cohete Ariane 5 (1996) [8]
- Errores en la totalización de resultados electorales [9]
Temas principales
El estudio de los números validados se divide en los siguientes campos:
- Verificación en álgebra lineal numérica.
- Validación de soluciones numéricas de un sistema dado de ecuaciones lineales [10] [11]
- Validación de valores propios obtenidos numéricamente [12] [13] [14]
- Calcular rigurosamente los determinantes [15]
- Validación de soluciones numéricas de ecuaciones matriciales [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22]
- Verificación de funciones especiales :
- Verificación de cuadratura numérica [31] [32] [33]
- Verificación de ecuaciones no lineales (se estudian el teorema de Kantorovich , [34] el método de Krawczyk, el método de Newton de intervalo y el método de Durand-Kerner-Aberth).
- Verificación de soluciones de EDO, PDE [35] (Para PDE, se utilizan conocimientos de análisis funcional . [34] )
- Verificación de programación lineal [36]
- Verificación de la geometría computacional.
- Verificación en un entorno informático de alto rendimiento.
Herramientas
- Biblioteca INTLAB hecha por MATLAB / GNU Octave
- Biblioteca kv creada en C++ . Esta biblioteca puede obtener múltiples resultados de precisión utilizando GNU MPFR .
- Biblioteca Arb realizada por C. Es capaz de calcular rigurosamente varias funciones especiales .
- CAPD Una colección de módulos C++ flexibles que están diseñados principalmente para el cálculo de homología de conjuntos, mapas y números validados para sistemas dinámicos .
- JuliaIntervals en GitHub (Biblioteca creada por Julia )
- Boost Safe Numerics: biblioteca de encabezados C++ de reemplazos validados para todos los tipos de enteros integrados.
Ver también
Referencias
- ^ Tucker, Warwick . (1999). "El atractor de Lorenz existe". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematics , 328(12), 1197–1202.
- ^ Zin Arai, Hiroshi Kokubu, Paweãl Pilarczyk. Desarrollo reciente en métodos computacionales rigurosos en sistemas dinámicos.
- ^ Grupa, Siegfried M. (1988). "Algoritmos para inclusiones verificadas: teoría y práctica". En Fiabilidad en la informática (págs. 109-126). Prensa académica.
- ^ Loh, Eugenio; Walster, G. William (2002). El ejemplo de Rump revisado. Computación confiable, 8(3), 245-248.
- ^ Breuer, B.; Ciruela, Michael; McKenna, Patrick J. (2001). "Inclusiones y pruebas de existencia para soluciones de un problema de valores límite no lineales mediante métodos numéricos espectrales". En Temas de análisis numérico (págs. 61–77). Springer, Viena.
- ^ Gidas, B.; Ni, Wei-Ming; Nirenberg, Luis (1979). "Simetría y propiedades relacionadas mediante el principio de máximo". Comunicaciones en Física Matemática , 68(3), 209–243.
- ^ "La falla del misil Patriot".
- ^ Falla del vuelo 501 de ARIANE 5, http://sunnyday.mit.edu/nasa-class/Ariane5-report.html
- ^ El error de redondeo cambia la composición del Parlamento
- ^ Yamamoto, T. (1984). Límites de error para soluciones aproximadas de sistemas de ecuaciones. Revista Japonesa de Matemáticas Aplicadas, 1(1), 157.
- ^ Oishi, S. y Rump, SM (2002). Verificación rápida de soluciones de ecuaciones matriciales. Numerische Mathematik, 90(4), 755-773.
- ^ Yamamoto, T. (1980). Límites de error para valores propios y vectores propios calculados. Numerische Mathematik, 34(2), 189-199.
- ^ Yamamoto, T. (1982). Límites de error para valores propios y vectores propios calculados. II. Numerische Mathematik, 40(2), 201-206.
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- ^ Shinya Miyajima, Cálculo rápido verificado para la solución mínima no negativa de la ecuación algebraica no simétrica de Riccati, Matemática computacional y aplicada, volumen 37, número 4, páginas 4599-4610, septiembre de 2018.
- ^ Shinya Miyajima, Cálculo rápido verificado para la solución de la ecuación de Sylvester de congruencia T, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, volumen 35, número 2, páginas 541-551, julio de 2018.
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- ^ Shinya Miyajima, Cálculo rápido verificado para estabilizar soluciones de ecuaciones algebraicas de Riccati en tiempo discreto, Journal of Computational and Applied Mathematics, volumen 319, páginas 352-364, agosto de 2017.
- ^ Shinya Miyajima, Cálculo rápido verificado para soluciones de ecuaciones algebraicas de Riccati en tiempo continuo, Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, volumen 32, número 2, páginas 529-544, julio de 2015.
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- ^ Johansson, Fredrik (2017). Arb: aritmética eficiente de intervalos de radio de punto medio de precisión arbitraria. Transacciones IEEE en computadoras, 66(8), 1281-1292.
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- ^ ab Eberhard Zeidler , Análisis funcional no lineal y sus aplicaciones IV. Medios de ciencia y negocios de Springer .
- ^ Mitsuhiro T. Nakao, Michael Plum, Yoshitaka Watanabe (2019) Métodos de verificación numérica y pruebas asistidas por computadora para ecuaciones diferenciales parciales (Serie Springer en Matemática Computacional).
- ^ Oishi, Shin'ichi; Tanabe, Kunio (2009). Inclusión Numérica del Punto Óptimo para Programación Lineal. Cartas JSIAM, 1, 5-8.
Otras lecturas
enlaces externos
- Numéricos validados para peatones
- Reliable Computing, una revista electrónica abierta dedicada a cálculos numéricos con precisión garantizada, limitación de rangos, pruebas matemáticas basadas en aritmética de punto flotante y otras teorías y aplicaciones de la aritmética de intervalos y el redondeo dirigido.
