Número refactorizable

Número entero divisible por el número de sus divisores

Demostración, con varillas Cuisenaire , de que 1, 2, 8, 9 y 12 son refactorizables

Un número refactorizable o número tau es un entero n que es divisible por el número de sus divisores o, para decirlo algebraicamente, n es tal que . Los primeros números refactorizables se enumeran en (secuencia A033950 en la OEIS ) como ${\displaystyle \tau (n)\mid n}$

1 , 2 , 8 , 9 , 12 , 18 , 24 , 36 , 40 , 56 , 60 , 72 , 80 , 84 , 88 , 96 , 104 , 108 , 128 , 132 , 136 , 152 , 156 , 180 , 184 , 204 , 225 , 228 , 232 , 240 , 248 , 252 , 276 , 288 , 296 , ...

Por ejemplo, 18 tiene 6 divisores (1 y 18, 2 y 9, 3 y 6) y es divisible por 6. Hay infinitos números refactorizables.

Propiedades

Cooper y Kennedy demostraron que los números refactorizables tienen densidad natural cero. Zelinsky demostró que no hay tres números enteros consecutivos que puedan ser refactorizables. ^[1] Colton demostró que ningún número refactorizable es perfecto . La ecuación tiene soluciones solo si es un número refactorizable, donde es la función del máximo común divisor . ${\displaystyle \gcd(n,x)=\tau (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \gcd }$

Sea el número de números refactorizables que son como máximo . El problema de determinar un asintótico para es abierto. Spiro ha demostrado que ^[2] ${\displaystyle T(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T(x)}$ ${\displaystyle T(x)={\frac {x}{{\sqrt {\log x}}(\log \log x)^{1-o(1)}}}}$

Todavía hay problemas sin resolver en relación con los números refactorizables. Colton preguntó si existen números arbitrariamente grandes que permitan que tanto y sean refactorizables. Zelinsky se preguntó si existe un número refactorizable , ¿existen necesariamente números que sean refactorizables y ? ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n_{0}\equiv a\mod m}$ ${\displaystyle n>n_{0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\equiv a\mod m}$

Historia

Definidos por primera vez por Curtis Cooper y Robert E. Kennedy ^[3], donde demostraron que los números tau tienen densidad natural cero, fueron redescubiertos más tarde por Simon Colton utilizando un programa de computadora que había creado que inventa y juzga definiciones de una variedad de áreas de las matemáticas, como la teoría de números y la teoría de grafos . ^[4] Colton llamó a estos números "refactorizables". Si bien los programas de computadora habían descubierto pruebas antes, este descubrimiento fue una de las primeras veces que un programa de computadora había descubierto una idea nueva o previamente oscura. Colton demostró muchos resultados sobre los números refactorizables, mostrando que había infinitos y demostrando una variedad de restricciones de congruencia en su distribución. Colton fue alertado más tarde de que Kennedy y Cooper habían investigado previamente el tema.

Véase también

• Función divisoria

Referencias

1. J. Zelinsky, "Números Tau: una prueba parcial de una conjetura y otros resultados", Journal of Integer Sequences , vol. 5 (2002), artículo 02.2.8
2. Spiro, Claudia (1985). "¿Con qué frecuencia el número de divisores de na es divisor de n?". Journal of Number Theory . 21 (1): 81–100. doi : 10.1016/0022-314X(85)90012-5 .
3. Cooper, CN y Kennedy, RE "Números de tau, densidad natural y teorema 437 de Hardy y Wright". Internat. J. Math. Math. Sci. 13, 383-386, 1990
4. S. Colton, "Números refactorizables: una invención de la máquina", Journal of Integer Sequences , vol. 2 (1999), artículo 99.1.2