numero hexagonal

Tipo de número figurado

Prueba sin palabras de que un número hexagonal (columna del medio) se puede reorganizar como números rectangulares y triangulares de lados impares

Un número hexagonal es un número figurado . El n.ésimo número hexagonal h _n es el número de puntos distintos en un patrón de puntos que consiste en los contornos de hexágonos regulares con lados hasta n puntos, cuando los hexágonos se superponen de manera que comparten un vértice .

Los primeros cuatro números hexagonales.

La fórmula para el n- ésimo número hexagonal.

${\displaystyle h_{n}=2n^{2}-n=n(2n-1)={\frac {2n(2n-1)}{2}}.}$

Los primeros números hexagonales (secuencia A000384 en OEIS ) son:

1 , 6 , 15 , 28 , 45 , 66 , 91 , 120 , 153 , 190 , 231 , 276, 325, 378, 435, 496 , 561 , 630, 703, 780, 861, 946...

Todo número hexagonal es un número triangular , pero sólo cualquier otro número triangular (el 1.º, 3.º, 5.º, 7.º, etc.) es un número hexagonal. Al igual que un número triangular, la raíz digital en base 10 de un número hexagonal sólo puede ser 1, 3, 6 o 9. El patrón de raíz digital, que se repite cada nueve términos, es "1 6 6 1 9 3 1 3 9".

Todo número par perfecto es hexagonal, dado por la fórmula

${\displaystyle M_{p}2^{p-1}=M_{p}{\frac {M_{p}+1}{2}}=h_{(M_{p}+1)/2}=h_{2^{p-1}}}$

donde Mp _es un primo de Mersenne . No se conocen números perfectos impares, por lo que todos los números perfectos conocidos son hexagonales.

Por ejemplo, el segundo número hexagonal es 2×3 = 6; el 4to es 4×7 = 28; el 16 es 16×31 = 496; y el 64 es 64×127 = 8128.

El número más grande que no se puede escribir como suma de como máximo cuatro números hexagonales es 130 . Adrien-Marie Legendre demostró en 1830 que cualquier número entero mayor que 1791 puede expresarse de esta forma.

Además, sólo dos números enteros no se pueden expresar con cinco números hexagonales (pero sí con seis), siendo estos el 11 y el 26.

Los números hexagonales no deben confundirse con los números hexagonales centrados , que modelan el envase estándar de las salchichas vienesas . Para evitar ambigüedades, los números hexagonales a veces se denominan "números hexagonales arrinconados".

Prueba de números hexagonales

Se puede probar eficientemente si un entero positivo x es un número hexagonal calculando

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}+1}{4}}.}$

Si n es un número entero, entonces x es el enésimo número hexagonal. Si n no es un número entero, entonces x no es hexagonal.

Relaciones de congruencia

• ${\displaystyle h_{n}\equiv n{\pmod {4}}}$
• ${\displaystyle h_{3n}+h_{2n}+h_{n}\equiv 0{\pmod {2}}}$

Otras propiedades

Expresión usando notación sigma

El enésimo número de la secuencia hexagonal también se puede expresar usando notación sigma como

${\displaystyle h_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}{(4k+1)}}$

donde la suma vacía se toma como 0.

Suma de los números hexagonales recíprocos

La suma de los números hexagonales recíprocos es 2ln(2) , donde ln denota logaritmo natural .

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(2k-1)}}&=\lim _{n\to \infty }2\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}-{\frac {1}{2k}}\right)\\&=\lim _{n\to \infty }2\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {1}{2k-1}}+{\frac {1}{2k}}-{\frac {1}{k}}\right)\\&=2\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{2n}{\frac {1}{k}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\&=2\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{n+k}}\\&=2\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1+{\frac {k}{n}}}}\\&=2\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}dx\\&=2[\ln(1+x)]_{0}^{1}\\&=2\ln {2}\\&\approx {1.386294}\end{aligned}}}$

Multiplicando el índice

Usando reordenamiento, se da el siguiente conjunto de fórmulas:

${\displaystyle h_{2n}=4h_{n}+2n}$

${\displaystyle h_{3n}=9h_{n}+6n}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle h_{m*n}=m^{2}h_{n}+(m^{2}-m)n}$

relación de proporción

Usando la fórmula final anterior con respecto a my luego n , y luego un poco de reducción y movimiento, se puede llegar a la siguiente ecuación:

${\displaystyle {\frac {h_{m}+m}{h_{n}+n}}=\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}}$

Números de divisores de potencias de ciertos números naturales.

${\displaystyle 12^{n-1}}$para n >0 tiene divisores. ${\displaystyle h_{n}}$

Asimismo, para cualquier número natural de la forma donde p y q son números primos distintos, para n >0 tiene divisores. ${\displaystyle r=p^{2}q}$ ${\displaystyle r^{n-1}}$ ${\displaystyle h_{n}}$

Prueba. tiene divisores de la forma , para k = 0... 2( n − 1), l = 0... n − 1. Cada combinación de k y l produce un divisor distinto, por lo que tiene divisores, es decir, divisores. ∎ ${\displaystyle r^{n-1}=(p^{2}q)^{n-1}=p^{2(n-1)}q^{n-1}}$ ${\displaystyle p^{k}q^{l}}$ ${\displaystyle r^{n-1}}$ ${\displaystyle [2(n-1)+1][(n-1)+1]}$ ${\displaystyle (2n-1)n=h_{n}}$

Números cuadrados hexagonales

La secuencia de números que son tanto hexagonales como cuadrados perfectos comienza con 1, 1225, 1413721,... OEIS : A046177 .

Ver también

• Número hexagonal centrado

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Número hexagonal". MundoMatemático .