Número de Størmer

En matemáticas, un número de Størmer o número arco-cotangente irreducible es un número entero positivo cuyo mayor factor primo es mayor o igual a . Llevan el nombre de Carl Størmer . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{2}+1}$ ${\displaystyle 2n}$

Secuencia

Los primeros números de Størmer son:

1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 11 , 12 , 14 , 15 , 16 , 19 , 20 , ... (secuencia A005528 en el OEIS ).

Densidad

John Todd demostró que esta secuencia no es finita ni cofinita . ^[1]

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Cuál es la densidad natural de los números de Størmer?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Más precisamente, la densidad natural de los números de Størmer se encuentra entre 0,5324 y 0,905. Se ha conjeturado que su densidad natural es el logaritmo natural de 2 , aproximadamente 0,693, pero esto aún no se ha demostrado. ^[2] Debido a que los números de Størmer tienen densidad positiva, los números de Størmer forman un conjunto grande .

Solicitud

Los números de Størmer surgen en relación con el problema de representar los números de Gregory ( arctagentes de números racionales ) como sumas de números de Gregory para números enteros (arctagentes de fracciones unitarias ). El número de Gregory se puede descomponer multiplicando repetidamente el entero gaussiano por números de la forma , para cancelar factores primos de la parte imaginaria; aquí se elige que sea un número de Størmer tal que sea divisible por . ^[3] ${\displaystyle G_{a/b}=\arctan {\frac {b}{a}}}$ ${\displaystyle G_{a/b}}$ ${\displaystyle a+bi}$ ${\displaystyle n\pm i}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{2}+1}$ ${\displaystyle p}$

Referencias

1. Todd, John (1949), "Un problema sobre relaciones arcotangentes", American Mathematical Monthly , 56 (8): 517–528, doi :10.2307/2305526, JSTOR  2305526, MR  0031496.
2. Everest, Graham; Harman, Glyn (2008), "Sobre divisores primitivos de ", Teoría de números y polinomios , London Math. Soc. Serie de notas de conferencia, vol. 352, Universidad de Cambridge. Press, Cambridge, págs. 142–154, arXiv : math/0701234 , doi : 10.1017/CBO9780511721274.011, MR  2428520 ${\displaystyle n^{2}+b}$. Véase en particular el Teorema 1.4 y la Conjetura 1.5.
3. Conway, John H .; Guy, RK (1996), El libro de los números , Nueva York: Copernicus Press, págs. 245–248. Véase en particular la pág. 245, párr. 3.