número de harshad

En matemáticas , un número de hardad (o número de Niven ) en una base numérica determinada es un número entero que es divisible por la suma de sus dígitos cuando se escribe en esa base. Los números de Harshad en base $n$ también se conocen como números $n$ -harshad (o $n$ -Niven ). Los números de Harshad fueron definidos por DR Kaprekar , un matemático de la India . ^[1] La palabra "harshad" proviene del sánscrito harṣa (alegría) + da (dar), que significa dador de alegría. El término "número de Niven" surgió de un artículo presentado por Ivan M. Niven en una conferencia sobre teoría de números en 1977.

Definición

Dicho matemáticamente, sea $X$ un número entero positivo con $m$ dígitos cuando se escribe en base $n$ , y sean los dígitos ( ). (Se deduce que debe ser cero o un número entero positivo hasta .) $X$ se puede expresar como $a_{i}$ $i=0,1,\ldots ,m-1$ $a_{i}$ $n-1$

X=\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}n^{i}.

$X$ es un número duro en base $n$ si:

X\equiv 0{\bmod {\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}}}.

Un número que es un número de hardad en cada base numérica se llama número de todo harshad o número de todo Niven . Sólo hay cuatro números totalmente harshad: 1 , 2 , 4 y 6 . El número 12 es un número duro en todas las bases excepto en octal .

Ejemplos

El número 18 es un número duro en base 10 , porque la suma de los dígitos 1 y 8 es 9, y 18 es divisible por 9.
El número de Hardy-Ramanujan (1729) es un número de hardad en base 10, ya que es divisible por 19, la suma de sus dígitos (1729 = 19 × 91).
El número 19 no es un número duro en base 10, porque la suma de los dígitos 1 y 9 es 10, y 19 no es divisible por 10.
En base 10, todo número natural expresable en la forma 9R _n a _n , donde el número R _n consta de n copias del dígito único 1, n > 0, y a _n es un entero positivo menor que 10 ⁿ y múltiplo de n , es un número duro. (R. D'Amico, 2019). El número 9R ₃a ₃ = 521478, donde R ₃ = 111, n = 3 y a ₃ = 3×174 = 522, es un número hardad; de hecho, tenemos: 521478/(5+2+1+4+7+8) = 521478/27 = 19314. ^[2]
Los números de Harshad en base 10 forman la secuencia :
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 12 , 18 , 20 , 21 , 24 , 27 , 30 , 36 , 40 , 42 , 45 , 48 , 50 , 54 , 60 , 63 , 70 , 72 , 80 , 81 , 84 , 90 , 100 , 102 , 108 , 110 , 111 , 112 , 114 , 117 , 120 , 126 , 132 , 133 , 135 , 144 , 150 , 152 , 153 , 156 , 162 , 171 , 180 , 190 , 192 , 195 , 198, 200 , ... (secuencia A005349 en el OEIS ).
Todos los números enteros entre cero y $n$ son números $n$ -harshad.

Propiedades

Dada la prueba de divisibilidad para 9, uno podría verse tentado a generalizar que todos los números divisibles por 9 también son números duros. Pero para determinar la dureza de $n$ , los dígitos de $n$ solo se pueden sumar una vez y $n$ debe ser divisible por esa suma; de lo contrario, no es un número duro. Por ejemplo, 99 no es un número duro, ya que 9 + 9 = 18 y 99 no es divisible por 18.

El número base (y además, sus potencias) siempre será un número duro en su propia base, ya que se representará como "10" y 1 + 0 = 1.

Todos los números cuya suma de dígitos en base b divide a b −1 son números duros en base b .

Para que un número primo también sea un número hardad debe ser menor o igual que el número base; de lo contrario, la suma de los dígitos del primo dará un número mayor que 1, pero menor que el primo, y no será divisible. Por ejemplo: 11 no es hardad en base 10 porque la suma de sus dígitos “11” es 1 + 1 = 2, y 11 no es divisible por 2; mientras que en base 12 el número 11 podrá representarse como “Ɛ”, cuya suma de dígitos también es Ɛ. Como Ɛ es divisible por sí mismo, es hardad en base 12.

Aunque la secuencia de factoriales comienza con números de hardad en base 10, no todos los factoriales son números de hardad. 432! es el primero que no lo es. (¡432! tiene suma de dígitos 3897 = 3 ² × 433 en base 10, ¡por lo que no divide 432!)

$Los k$ más pequeños tales que son un número duro son $k\cdot n$

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 1, 9, 3, 2, 3, 6, 1, 6, 1, 1, 5, 9, 1, 2, 6, 1, 3, 9, 1, 12, 6, 4, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 1, 10, 1, 12, 3, 1, 5, 9, 1, 8, 1, 2, 3, 18, 1, 2, 2, 2, 9, 9, 1, 12, 6, 1, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 1, 18, 1, 7, 3, 2, 2, 4, 2, 9, 1, ... (secuencia A144261 en el OEIS ).

Los $k$ más pequeños que no son un número duro son $k\cdot n$

11, 7, 5, 4, 3, 11, 2, 2, 11, 13, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 161, 1, 8, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 7, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 11, 1, 1, 2, 1, 5, 1, 1, 1, 537, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 68, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, ... (secuencia A144262 en el OEIS ).

Otras bases

Los números de hardad en base 12 son:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ᘔ, Ɛ, 10, 1ᘔ, 20, 29, 30, 38, 40, 47, 50, 56, 60, 65, 70, 74, 80, 83, 90, 92, ᘔ0, ᘔ1, Ɛ0, 100, 10ᘔ, 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 3, 182, 191, 1ᘔ0, 1Ɛ0, 1Ɛᘔ, 200, ...

donde ᘔ representa diez y Ɛ representa once.

$Los k$ más pequeños que son un número de hardad en base 12 son (escritos en base 10): $k\cdot n$

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 6, 4, 3, 10, 2, 11, 3, 4, 1, 7, 1, 12, 6, 4, 3, 11, 2, 11, 3, 1, 5, 9, 1, 12, 11, 4, 3, 11, 2, 11, 1, 4, 4, 11, 1, 16, 6, 4, 3, 11, 2, 1, 3, 11, 11, 11, 1, 12, 11, 5, 7, 9, 1, 7, 3, 3, 9, 11, 1, ...

$Los k$ más pequeños que no son un número de hardad en base 12 son (escritos en base 10): $k\cdot n$

13, 7, 5, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 13, 16, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1885, 1, 1, 1, 1, 1, 3, ...

Al igual que en base 10, no todos los factoriales son números duros en base 12. ¡Después de 7! (= 5040 = 2Ɛ00 en base 12, con dígitos suma 13 en base 12, ¡y 13 no divide a 7!), 1276! es el siguiente que no lo es. (¡1276! tiene suma de dígitos 14201 = 11 × 1291 en base 12, ¡por lo tanto no divide 1276!)

Números consecutivos de hardad

Ejecuciones máximas de números de hardad consecutivos

Cooper y Kennedy demostraron en 1993 que no hay 21 enteros consecutivos que sean números ^de 10 harshad, el más pequeño de los cuales excede 10 ^.^44363342786 .

HG Grundman (1994) amplió el resultado de Cooper y Kennedy para mostrar que hay 2 b pero no 2 b + 1 números b -harshad consecutivos para cualquier base b . ^[4]^[5] Este resultado se reforzó para mostrar que hay infinitas series de 2 b números b -harshad consecutivos para b = 2 o 3 por T. Cai (1996) ^{[4] y para}b arbitrario por Brad Wilson en 1997. ^[6]

En binario , hay, por tanto, infinitas series de cuatro números hardad consecutivos y en ternario infinitas series de seis.

En general, estas secuencias máximas van desde N · b ^k - b hasta N · b ^k + ( b - 1), donde b es la base, k es una potencia relativamente grande y N es una constante. Dada una de esas secuencias elegidas adecuadamente, podemos convertirla en una más grande de la siguiente manera:

Insertar ceros en N no cambiará la secuencia de sumas digitales (al igual que 21, 201 y 2001 son todos números de 10 harshad).
Si insertamos n ceros después del primer dígito, α (que vale αb ⁱ ), aumentamos el valor de N en αb ⁱ ( b ⁿ − 1).
Si podemos asegurar que b ⁿ − 1 es divisible por todas las sumas de dígitos en la secuencia, entonces se mantiene la divisibilidad por esas sumas.
Si nuestra secuencia inicial se elige de modo que las sumas de los dígitos sean coprimos con b , podemos resolver b ⁿ = 1 módulo todas esas sumas.
Si no es así, pero la parte de cada dígito suma no coprimo a b divide a ^αbi , entonces la divisibilidad aún se mantiene.
(No probado) La secuencia inicial así se elige.

Por tanto, nuestra secuencia inicial produce un conjunto infinito de soluciones.

Primeras ejecuciones de exactamente n números consecutivos de 10 harshad

Las series iniciales naturales más pequeñas de exactamente $n$ números consecutivos de 10 harshad (es decir, los $x$ más pequeños que son números de hardad pero no lo son) son los siguientes (secuencia A060159 en el OEIS ): $x,x+1,\cdots ,x+n-1$ $x-1$ $x+n$

Según la sección anterior, no existe tal $x$ para $n>20.$

Estimación de la densidad de números de hardad.

Si denotamos el número de números hardad , entonces para cualquier dado $N(x)$ $\leq x$ $\varepsilon >0,$

x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}

como lo demuestran Jean-Marie De Koninck y Nicolas Doyon; ^[7] además, De Koninck, Doyon y Kátai ^[8] demostraron que

N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}},

donde y el término usa notación O grande . $c=(14/27)\log 10\approx 1.1939$ $o(1)$

Sumas de números hardad

Todo número natural que no exceda los mil millones es un número hardad o la suma de dos números hardad. Condicional a una hipótesis técnica sobre los ceros de ciertas funciones zeta de Dedekind , Sanna demostró que existe un entero positivo tal que todo número natural es la suma de como máximo números de hardad, es decir, el conjunto de los números de hardad es una base aditiva . ^[9] $k$ $k$

El número de formas en que cada número natural 1, 2, 3,... se puede escribir como suma de dos números hardad es:

0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 4, 5, 4, 4, 4, 3, 2, 4, 3, 3, 4, 3, 3, 5, 3, 4, 5, 4, 4, 7, 4, 5, 6, 5, 3, 7, 4, 4, 6, 4, 2, 7, 3, 4, 5, 4, 3, 7, 3, 4, 5, 4, 3, 8, 3, 4, 6, 3, 3, 6, 2, 5, 6, 5, 3, 8, 4, 4, 6, ... (secuencia A337853 en el OEIS ).

El número más pequeño que se puede escribir exactamente de 1, 2, 3,... como la suma de dos números hardad es:

2, 4, 6, 8, 10, 51, 48, 72, 108, 126, 90, 138, 144, 120, 198, 162, 210, 216, 315, 240, 234, 306, 252, 372, 270, 546, 360, 342, 444, 414, 468, 420, 642, 450, 522, 540, 924, 612, 600, 666, 630, 888, 930, 756, 840, 882, 936, 972, 1098, 215, 1026, 1212, 1080, ... (secuencia A337854 en el OEIS ).

Números nivenmórficos

Un número de Nivenmorphic o un número de hardadmorphic para una base numérica dada es un número entero $t$ tal que existe algún número de hardad $N$ cuya suma de dígitos es $t$ , y $t$ , escrito en esa base, termina en $N$ escrito en la misma base.

Por ejemplo, 18 es un número Nivenmórfico de base 10:

16218 es un número duro 16218 tiene 18 como suma de dígitos 18 termina 16218

Sandro Boscaro determinó que para base 10 todos los números enteros positivos son números Nivenmórficos excepto el 11 . ^[10] De hecho, para un entero par n > 1, todos los enteros positivos excepto n +1 son números Nivenmórficos para base n , y para un entero impar n > 1, todos los enteros positivos son números Nivenmórficos para base n . por ejemplo, los números Nivenmórficos en base 12 son OEIS : A011760 (todos los números enteros positivos excepto 13).

El número más pequeño con suma de dígitos en base 10 n y termina en n escrito en base 10 es: (0 si no existe tal número)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 910, 0, 912, 11713, 6314, 915, 3616, 15317, 918, 17119, 9920, 18921, 9922, 82823, 19824, 9925, 46826, 18927, 18928, 78329, 99930, 585931, 388832, 1098933, 198934, 289835, 99936, 99937, 478838, 198939, 1999840, , 2979942, 2979943, 999944, 999945, 4698946, 4779947, 2998848, 2998849, 9999950, ... (secuencia A187924 en la OEIS )

Múltiples números de hardad

Bloem (2005) define un número de hardad múltiple como un número de hardad que, cuando se divide por la suma de sus dígitos, produce otro número de hardad. ^[11] Afirma que 6804 es "MHN-4" basándose en que

{\begin{aligned}6804/18&=378\\378/18&=21\\21/3&=7\\7/7&=1\end{aligned}}

(no es MHN-5 desde , pero 1 no es "otro" número de hardad) $1/1=1$

y continuó demostrando que 2016502858579884466176 es MHN-12. El número 10080000000000 = 1008 × 10 ¹⁰ , que es más pequeño, también es MHN-12. En general, 1008 × 10 ⁿ es MHN-( n +2).

Referencias

^ DR Kaprekar, Números multidigitales , Scripta Mathematica 21 (1955), 27.
^ Rosario D'Amico, Un método para generar números de Harshad, en Journal of Mathematical Economics and Finance, vol. 5, n. 1, junio de 2019, p. 19-26.
^ Cooper, Curtis; Kennedy, Robert E. (1993), "Sobre números consecutivos de Niven" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 31 (2): 146–151, ISSN 0015-0517, Zbl 0776.11003
^ abc Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Manual de teoría de números II . Dordrecht: Académico Kluwer. pag. 382.ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.
^ Grundman, HG (1994), "Secuencias de números n-Niven consecutivos" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 32 (2): 174–175, ISSN 0015-0517, Zbl 0796.11002
^ Wilson, Brad (1997), "Construcción de 2n números n-Niven consecutivos" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 35 : 122–128, ISSN 0015-0517
^ De Koninck, Jean-Marie; Doyon, Nicolas (noviembre de 2003), "Sobre el número de números de Niven hasta x ", Fibonacci Quarterly , 41 (5): 431–440.
^ De Koninck, Jean-Marie; Doyón, Nicolás; Kátai, I. (2003), "Sobre la función de conteo de los números de Niven", Acta Arithmetica , 106 (3): 265–275, Bibcode :2003AcAri.106..265D, doi : 10.4064/aa106-3-5.
^ Sanna, Carlo (marzo de 2021), "Bases aditivas y números de Niven", Boletín de la Sociedad Matemática Australiana , 104 (3): 373–380, arXiv : 2101.07593 , doi : 10.1017/S0004972721000186 , S2CID 231639019.
^ Boscaro, Sandro (1996-1997), "Enteros nivenmórficos", Revista de Matemáticas Recreativas , 28 (3): 201-205.
^ Bloem, E. (2005), "Números de Harshad", Journal of Recreational Mathematics , 34 (2): 128.

enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Número de Harshad". MundoMatemático .