Los recíprocos de los números primos han sido de interés para los matemáticos por diversas razones. No tienen una suma finita , como demostró Leonhard Euler en 1737.
Al igual que los números racionales , los recíprocos de los primos tienen representaciones decimales periódicas . En sus últimos años, George Salmon (1819-1904) se interesó en los períodos de repetición de estas representaciones decimales de los recíprocos de los primos. [1]
Al mismo tiempo, William Shanks (1812-1882) calculó numerosos recíprocos de primos y sus períodos periódicos, y publicó dos artículos "Sobre los períodos en los recíprocos de primos" en 1873 [2] y 1874 [3]. En 1874 también publicó una tabla de primos y los períodos de sus recíprocos, hasta 20.000 (con la ayuda y "comunicada por el reverendo George Salmon"), y señaló los errores en tablas anteriores de otros tres autores. [4]
Las reglas para calcular los períodos de decimales periódicos a partir de fracciones racionales fueron dadas por James Whitbread Lee Glaisher en 1878. [5] Para un primo p , el período de su recíproco divide a p − 1 . [6]
La secuencia de períodos de recurrencia de los primos recíprocos (secuencia A002371 en la OEIS ) aparece en el Manual de secuencias de enteros de 1973.
* Los primos de reptend completos están en cursiva.
† Los primos únicos están resaltados.
Un primo reptend completo , primo reptend completo , primo propio [7] : 166 o primo largo en base b es un número primo impar p tal que el cociente de Fermat
(donde p no divide a b ) da un número cíclico con p − 1 dígitos. Por lo tanto, la expansión en base b de repite los dígitos del número cíclico correspondiente infinitamente.
Un primo p (donde p ≠ 2, 5 cuando se trabaja en base 10) se llama único si no hay otro primo q tal que la longitud del período de la expansión decimal de su recíproco , 1/ p , sea igual a la longitud del período del recíproco de q , 1/ q . [8] Por ejemplo, 3 es el único primo con período 1, 11 es el único primo con período 2, 37 es el único primo con período 3, 101 es el único primo con período 4, por lo que son primos únicos. El siguiente primo único más grande es 9091 con período 10, aunque el siguiente período más grande es 9 (su primo es 333667). Los primos únicos fueron descritos por Samuel Yates en 1980. [9] Un número primo p es único si y solo si existe un n tal que
es una potencia de p , donde denota el polinomio ciclotómico n-ésimo evaluado en . El valor de n es entonces el período de la expansión decimal de 1/ p . [10]
En la actualidad se conocen más de cincuenta números decimales primos únicos o probables . Sin embargo, sólo hay veintitrés números primos únicos inferiores a 10 100 .
Los números primos decimales únicos son
...había una rama del cálculo que ejercía una gran fascinación sobre él. Se trataba de la determinación del número de cifras en los períodos recurrentes de los recíprocos de los números primos.
