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Meandro (matemáticas)

En matemáticas , un meandro o meandro cerrado es una curva cerrada que se evita a sí misma y que cruza una línea dada varias veces, es decir, la intersecta al pasar de un lado al otro. Intuitivamente, un meandro puede verse como un río serpenteante con una carretera recta que cruza el río por varios puentes. Por lo tanto, los puntos en los que se cruzan la línea y la curva se denominan "puentes".

Meandro

Dada una línea fija L en el plano euclidiano , un meandro de orden n es una curva cerrada que se autoevita en el plano y que corta la línea en 2 n puntos. Dos meandros son equivalentes si uno de ellos puede deformarse continuamente en el otro manteniendo su propiedad de ser un meandro y dejando invariable el orden de los puentes de la carretera, en el orden en que se cruzan.

Ejemplos

El meandro único de orden 1 intersecta la línea dos veces:

Este meandro intersecta la línea cuatro veces y por lo tanto tiene orden 2:

Hay dos meandros de orden 2. Invertir la imagen verticalmente produce el otro.

Aquí hay dos meandros no equivalentes de orden 3, cada uno de los cuales interseca la línea seis veces:

Números meandricos

El número de meandros distintos de orden n es el número meandrico M n . Los primeros quince números meandricos se dan a continuación (secuencia A005315 en la OEIS ).

M1 = 1
M2 = 2
M3 = 8
M4 = 42
M5 = 262
M6 = 1828
M7 = 13820
M8 = 110954
M9 = 933458
M10 = 8152860
M11 = 73424650
M12 = 678390116
M13 = 6405031050
M 14 = 61606881612
M15 = 602188541928

Permutaciones meandricas

Permutación meandrica
(1 8 5 4 3 6 7 2)

Una permutación meandrica de orden n se define en el conjunto {1, 2, ..., 2 n } y se determina de la siguiente manera:

En el diagrama de la derecha, la permutación meandrica de orden 4 está dada por (1 8 5 4 3 6 7 2). Esta es una permutación escrita en notación cíclica y no debe confundirse con la notación unifilar .

Si π es una permutación meandrica, entonces π 2 consta de dos ciclos , uno que contiene todos los símbolos pares y el otro todos los símbolos impares. Las permutaciones con esta propiedad se denominan permutaciones alternas , ya que los símbolos en la permutación original alternan entre números enteros pares e impares. Sin embargo, no todas las permutaciones alternas son meandricas porque puede que no sea posible dibujarlas sin introducir una autointersección en la curva. Por ejemplo, la permutación alterna de orden 3, (1 4 3 6 5 2), no es meandrica.

Meandro abierto

Dada una recta fija L en el plano euclidiano, un meandro abierto de orden n es una curva no autointersecante en el plano que corta la recta en n puntos. Dos meandros abiertos son equivalentes si uno puede deformarse continuamente en el otro manteniendo su propiedad de ser un meandro abierto y dejando invariable el orden de los puentes de la carretera, en el orden en que se cruzan.

Ejemplos

El meandro abierto de orden 1 intersecta la recta una vez:

El meandro abierto de orden 2 intersecta la recta dos veces:

Números meandricos abiertos

El número de meandros abiertos distintos de orden n es el número meandrico abierto m n . Los primeros quince números meandricos abiertos se dan a continuación (secuencia A005316 en la OEIS ).

m1 = 1
m2 = 1
m3 = 2
m4 = 3
m5 = 8
m6 = 14
m7 = 42
m8 = 81
m9 = 262
m10 = 538
metros 11 = 1828
metros 12 = 3926
m13 = 13820
metros 14 = 30694
metros 15 = 110954

Semi-meandro

Dado un rayo R (una semirrecta cerrada) con orientación fija en el plano euclidiano, un semimeandro de orden n es una curva cerrada no autointersecante en el plano que corta al rayo en n puntos. Dos semimeandros son equivalentes si uno puede deformarse continuamente en el otro manteniendo su propiedad de ser un semimeandro y dejando invariable el orden de los puentes en el rayo, en el orden en que se cruzan.

Ejemplos

El semimeandro de orden 1 intersecta al rayo una vez:

El semimeandro de orden 2 intersecta el rayo dos veces:

Números semimeandricos

El número de semimeandros distintos de orden n es el número semimeandrico M n (normalmente se indica con una línea superior en lugar de una línea inferior). Los primeros quince números semimeandricos se indican a continuación (secuencia A000682 en la OEIS ).

M1 = 1
M2 = 1
M3 = 2
M 4 = 4
M 5 = 10
M6 = 24
M7 = 66
M8 = 174
M9 = 504
M10 = 1406
M11 = 4210
M12 = 12198
M13 = 37378
M14 = 111278
M15 = 346846

Propiedades de los números meandricos

Existe una función inyectiva de números meandricos a meandricos abiertos:

M n = m 2 n −1

Cada número meandrico puede estar acotado por números semi-meandricos:

M n M n M 2 n

Para n > 1, los números meandricos son pares :

M n ≡ 0 (mód 2)

Enlaces externos