En ciertos deportes , un número mágico es un número que se utiliza para indicar qué tan cerca está un equipo líder de conseguir un título de división y/o un lugar en los playoffs. Representa el total de victorias adicionales del equipo líder o derrotas adicionales (o cualquier combinación de ellas) de los equipos rivales después de las cuales es matemáticamente imposible que los equipos rivales obtengan el título en el número restante de juegos, suponiendo que no ocurra algún suceso altamente improbable como la descalificación o expulsión de la competencia o la pérdida retroactiva de juegos.
El uso generalizado de los números mágicos se limita generalmente a los deportes en los que los partidos solo cuentan en la clasificación cuando el resultado es una victoria y una derrota. Los números mágicos no suelen utilizarse en deportes en los que los equipos pueden ser acreditados de alguna manera por victorias parciales en caso de resultados como empates y derrotas en tiempo extra . También se los podría denominar "número decisivo" .
Los equipos que no están en cabeza tienen lo que se denomina un número de eliminación (o "número trágico" ) (a menudo abreviado como E# ). Este número representa la cantidad de victorias del equipo líder o de derrotas del equipo que va detrás, lo que eliminará al equipo que va detrás. El mayor número de eliminación entre los equipos que no están en primer lugar es el número mágico para el equipo líder.
El número mágico se calcula como G + 1 − W A − L B , donde
Por ejemplo, en las Grandes Ligas de Béisbol hay 162 partidos por temporada. Supongamos que los primeros puestos de la clasificación de la división al final de la temporada son los siguientes:
Entonces el número mágico para que el Equipo B sea eliminado es 162 + 1 − 96 − 62 = 5.
Cualquier combinación de victorias del Equipo A y derrotas del Equipo B que sumen 5 hace imposible que el Equipo B gane el título de la división.
El "+1" en la fórmula sirve para eliminar los empates; sin él, si el número mágico disminuyera a cero y se quedara allí, los dos equipos en cuestión terminarían con registros idénticos. Si las circunstancias dictan que el equipo que va en cabeza ganaría el desempate independientemente de los resultados futuros, entonces se puede eliminar la constante adicional 1. Por ejemplo, la NBA utiliza fórmulas complicadas para desempatar, utilizando varias otras estadísticas de mérito además del récord general de victorias y derrotas; sin embargo, el primer desempate entre dos equipos es su récord cara a cara; si el equipo que va en cabeza ya ha conseguido el mejor récord cara a cara, entonces el +1 es innecesario. En 2022, la Major League Baseball introdujo escenarios de desempate (como el cara a cara para los empates de división) que hicieron que el uso del "+1" fuera inútil (ya que se eliminó el Juego 163).
El número mágico también se puede calcular como W B + GR B − W A + 1, donde
Esta segunda fórmula básicamente dice: Supongamos que el equipo B gana todos los partidos restantes. Calcula cuántos partidos necesita ganar el equipo A para superar el total máximo del equipo B en 1. Usando el ejemplo anterior y con la misma temporada de 162 partidos, al equipo B le quedan 7 partidos.
El número mágico para que el Equipo A gane la división sigue siendo "5": 93 + 7 − 96 + 1 = 5.
El equipo B puede ganar hasta 100 partidos. Si el equipo A gana 101, el equipo B queda eliminado. El número mágico disminuiría con una victoria del equipo A y también disminuiría con una derrota del equipo B, ya que su total máximo de victorias se reduciría en uno.
Una variación de lo anterior analiza la relación entre las derrotas de los dos equipos. El número mágico se puede calcular como L A + GR A − L B + 1, donde
Esta tercera fórmula básicamente dice: Supongamos que el equipo A pierde todos los partidos restantes. Calcule cuántos partidos necesita perder el equipo B para superar el total máximo del equipo A en 1. Usando el ejemplo anterior y con la misma temporada de 162 partidos, al equipo A le quedan 8 partidos.
El número mágico para que el Equipo A gane la división sigue siendo "5": 58 + 8 − 62 + 1 = 5. Como puede ver, el número mágico es el mismo, ya sea que se calcule en función de las posibles victorias del líder o de las posibles derrotas del equipo que va detrás. De hecho, las pruebas matemáticas mostrarán que las tres fórmulas presentadas aquí son matemáticamente equivalentes.
El equipo A puede perder hasta 66 partidos. Si el equipo B pierde 67, queda eliminado. Una vez más, el número mágico disminuiría con una victoria del equipo A y también disminuiría con una derrota del equipo B.
En algunos deportes, los empates se resuelven con un partido adicional de desempate entre los equipos involucrados. Cuando un equipo llega al punto en que su número mágico es 1, se dice que ha "asegurado un empate" para la división o el comodín. Sin embargo, si termina la temporada empatado con otro equipo, y solo uno es elegible para los playoffs, el partido adicional de desempate borrará ese "aseguramiento" para el equipo que pierda el partido de desempate.
Algunos deportes utilizan una fórmula de desempate en lugar de organizar un desempate de un solo partido. En esos casos, es necesario mirar más allá de los registros de victorias y derrotas de los equipos para determinar el número mágico, ya que un equipo que ya se ha asegurado la ventaja en la fórmula de desempate no necesitaría incluir "+1" en el cálculo de su número mágico. Por ejemplo, supongamos que una liga de baloncesto que juega una temporada de 82 partidos sin desempates de un solo partido muestra la clasificación de la división al final de la temporada de la siguiente manera:
Supongamos además que el primer paso en la fórmula de desempate de la liga son los resultados de los encuentros cara a cara. El Equipo A y el Equipo B se han enfrentado cuatro veces durante la temporada y el Equipo A ha ganado tres de los cuatro partidos. No está previsto que se vuelvan a enfrentar en la temporada regular. Por lo tanto, el Equipo A tiene una ventaja en el desempate sobre el Equipo B y solo necesita terminar con el mismo número de victorias que el Equipo B para situarse por delante del Equipo B en la clasificación. Por tanto, podemos calcular el número mágico del Equipo A como 82 – 60 – 20 = 2. Si el Equipo A gana dos de sus siete partidos restantes, terminará con un resultado de 62-20. Si el Equipo B gana los siete partidos que le quedan, también terminará con un resultado de 62-20. Sin embargo, como el Equipo B pierde el desempate en los resultados de los enfrentamientos cara a cara, el Equipo A es el ganador de la división. En los casos en que aún no se han determinado los ganadores de los posibles desempates (por ejemplo, porque los equipos todavía tienen algunos partidos que jugar entre sí), la convención habitual es calcular los números mágicos de los equipos involucrados como si fueran a perder el desempate, y calcular los números de eliminación de dichos equipos como si fueran a ganar el desempate.
Por convención, el número mágico se utiliza normalmente para describir únicamente al equipo que ocupa el primer puesto, en relación con los equipos que lidera. Sin embargo, las mismas fórmulas matemáticas se pueden aplicar a cualquier equipo, tanto a los equipos que están empatados en el liderato como a los equipos que van detrás. En estos casos, un equipo que no está en primer lugar dependerá de que el equipo líder pierda algunos partidos para poder alcanzarlo, por lo que el número mágico será mayor que el número de partidos restantes. En última instancia, para los equipos que ya no están en la contienda, su número mágico sería mayor que sus partidos restantes + los partidos restantes del equipo que ocupa el primer puesto, lo que sería imposible de superar.
La fórmula para el número mágico se deriva directamente de la siguiente manera. Como antes, en algún punto particular de la temporada, supongamos que el Equipo A tiene W A victorias y L A derrotas. Supongamos que en algún momento posterior, el Equipo A tiene w A victorias adicionales y l A derrotas adicionales, y definamos de manera similar W B , L B , w B , l B para el Equipo B. El número total de victorias que el Equipo B necesita recuperar está dado por ( W A + w A ) − ( W B + w B ). El Equipo A asegura cuando este número excede el número de juegos que le quedan al Equipo B, ya que en ese punto el Equipo B no puede recuperar el déficit incluso si el Equipo A no gana más juegos. Si hay un total de G juegos en la temporada, entonces el número de juegos restantes para el Equipo B está dado por G − ( W B + w B + L B + l B ). Por lo tanto, la condición para que el equipo A gane es que ( W A + w A ) − ( W B + w B ) = 1 + G − ( W B + w B + L B + l B ). Cancelando los términos comunes, obtenemos w A + l B = G + 1 − W A − L B , lo que establece la fórmula del número mágico.
En el siguiente ejemplo, el número mágico del equipo A es 5, porque si bien puede eliminar al equipo B, que está en segundo lugar, en 4 juegos adicionales, se necesitarían 5 juegos para eliminar con seguridad al equipo C, que está en tercer lugar. Para calcular el número mágico es necesario utilizar el menor número de derrotas entre los demás equipos que compiten: 162 + 1 − 88 − 70 = 5.
Otro escenario en el que el Número Mágico puede variar con respecto al cálculo matemático del número puede ocurrir cuando hay un escenario de desempate. La mayoría de los deportes tienen una serie de métodos de desempate establecidos para lidiar con la eventualidad de que se igualen los récords al final de la temporada. Por lo general, el primero de estos métodos implica enfrentamientos directos de los equipos y qué equipo ha ganado más partidos contra el otro durante la temporada.
En el siguiente ejemplo, a los equipos A y B les quedan 12 juegos y la fórmula matemática dictaría un Número Mágico de 6 para el Equipo A. 162+1-83-74=6.
Sin embargo, si el Equipo A gana solo 5 de sus juegos restantes y termina la temporada con un récord de 88-74 y el Equipo B gana todos los juegos restantes y termina la temporada con un récord de empate, el Equipo A ganaría el título de división si tiene un récord ganador sobre el Equipo B durante la temporada, lo que significaría que en el siguiente ejemplo, el Equipo A en realidad tiene un Número Mágico de 5.
A veces, un equipo puede parecer que tiene una posibilidad matemática de ganar aunque en realidad ya haya sido eliminado, debido a la programación. En este escenario de las Grandes Ligas de Béisbol, quedan tres partidos en la temporada. Se supone que los equipos A, B y C son elegibles solo para el campeonato de división; los equipos con mejores récords en otras divisiones ya se han asegurado los tres puestos disponibles de "comodín":
Si el Equipo C ganara los tres partidos restantes, terminaría con un resultado de 88-74, y si tanto el Equipo A como el B perdieran sus tres partidos restantes, terminarían con un resultado de 87-75, lo que convertiría al Equipo C en el ganador de la división. Sin embargo, si los Equipos A y B se enfrentan entre sí en el fin de semana final (en una serie de 3 partidos), sería imposible que ambos equipos perdieran los tres partidos restantes. Uno de ellos ganará al menos dos partidos y, por lo tanto, se asegurará el título de la división con un récord de 90-72 o 89-73. La consecuencia más directa de esta situación es que tampoco es posible que los Equipos A y B terminen empatados entre sí, y el Equipo C no puede ganar la división.
Se puede decir con certeza si un equipo ha sido eliminado mediante el uso del algoritmo para el problema de flujo máximo . [1]
La incorporación de un segundo equipo comodín hace posible que en el béisbol se dé el escenario inverso (en el que un equipo ya se aseguró un lugar en la postemporada aunque parezca que aún podría quedar eliminado). En este escenario para el comodín:
Si los Equipos B y C juegan sus últimos tres partidos entre sí y todos los demás equipos han asegurado sus divisiones o han sido eliminados matemáticamente de alcanzar al Equipo A, entonces el Equipo A habrá asegurado al menos el segundo puesto de Comodín, ya que será imposible para los Equipos B y C ganar suficientes partidos para alcanzar al Equipo A.
El escenario inverso es más común en deportes que tienen más puestos en la postemporada, lo que beneficia a los equipos que están en las posiciones finales de playoffs pero que son perseguidos por equipos que aún tienen que jugar entre sí. A veces, ambos escenarios pueden ocurrir simultáneamente. En el siguiente escenario de la Asociación Nacional de Baloncesto para los equipos ubicados del séptimo al décimo lugar en la clasificación de la conferencia:
Si los Equipos B y C tienen que jugar uno de sus últimos dos partidos entre sí y el Equipo A tiene el desempate contra los Equipos B, C y D, entonces el Equipo A habrá asegurado un lugar en los playoffs ya que no puede ser superado por ambos Equipos B y C. Además, si el Equipo D no tiene un desempate contra ninguno de los Equipos A, B y C, entonces quedará fuera de la contienda por los playoffs ya que no puede superar a ambos Equipos B y C.
Ocasionalmente, se produce un escenario similar en las ligas de fútbol europeas y otras competiciones que utilizan el sistema de ascenso y descenso . En este escenario, para una liga de fútbol de 20 equipos que juega con un formato de todos contra todos , se otorgan tres puntos por victoria y uno por empate y se relega a los equipos que ocupan los puestos 18.º, 19.º y 20.º:
Si el Equipo A pierde sus últimos dos partidos, terminará con 38 puntos, mientras que si el Equipo D gana sus últimos dos partidos, terminará con 34. Sin embargo, independientemente de la diferencia de goles o cualquier otro desempate, si los Equipos B y C todavía tienen que jugar entre sí, entonces el Equipo A está a salvo del descenso ya que los Equipos B y C no pueden alcanzar ambos 38 puntos, mientras que el Equipo D descenderá ya que los Equipos B y C no pueden terminar ambos con menos de 35 puntos.
Se puede utilizar otro método para determinar el Número de Eliminación que utiliza solo las estadísticas de Juegos Restantes ( ) y Juegos Detrás del Líder (GBL), de la siguiente manera: , donde significa Juegos Restantes para el Líder (de manera similar, significa Juegos Restantes para el Remolque).
Volvamos al ejemplo presentado anteriormente. El número de eliminación para el Equipo B es una vez más "5": .
Es necesario utilizar este método si los equipos juegan un número diferente de partidos en la temporada completa, por ejemplo, debido a cancelaciones o eliminatorias que no se repetirán. Tenga en cuenta que este algoritmo también está limitado por las sutilezas mencionadas anteriormente.
