Un número decagonal es un número figurado que extiende el concepto de números triangulares y cuadrados al decágono (un polígono de diez lados). Sin embargo, a diferencia de los números triangulares y cuadrados, los patrones involucrados en la construcción de números decagonales no son rotacionalmente simétricos. Específicamente, el n -ésimo número decagonal cuenta los puntos en un patrón de n decágonos anidados, todos compartiendo una esquina común, donde el i -ésimo decágono del patrón tiene lados hechos de i puntos espaciados una unidad entre sí. El n -ésimo número decagonal viene dado por la siguiente fórmula
.
Los primeros números decagonales son:
- , 1 , 10 , 27 , 52 , 85 , 126 , 175 , 232 , 297 , 370, 451, 540, 637, 742, 855, 976, 1105 , 1242, 1387, 1540, 1701, 0 , 2047, 2232, 2425, 2626, 2835, 3052, 3277, 3510, 3751, 4000 , 4257, 4522, 4795, 5076, 5365, 5662, 5967, 6280, 6601, 6930, 7267, 7612, 965, 8326 (secuencia A001107 en la OEIS ) .
El n- ésimo número decagonal también se puede calcular sumando el cuadrado de n al triple del ( n -1)ésimo número pronico o, para decirlo algebraicamente, como
.
Propiedades
- Los números decagonales alternan consistentemente la paridad .
es la suma de los primeros números naturales congruentes con 1 mod 8.![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es el número de divisores de .![{\displaystyle 48^{n-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Los únicos números decagonales que son cuadrados son el 0 y el 1.
- Los números decagonales siguen las siguientes relaciones de recurrencia:
![{\displaystyle D_{n}=D_{n-1}+8n-7,D_{0}=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle D_ {n} = 2D_ {n-1} -D_ {n-2} +8, D_ {0} = 0, D_ {1} = 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle D_ {n} = 3D_ {n-1} -3D_ {n-2} + D_ {n-3}, D_ {0} = 0, D_ {1} = 1, D_ {2} = 10}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)