Número de palo

Número más pequeño de aristas de una trayectoria poligonal equivalente para un nudo

El nudo toroidal (o trébol) 2,3 tiene un número de varilla de seis.

En la teoría matemática de los nudos , el número de palos es un invariante de nudos que intuitivamente da el número más pequeño de "palos" rectos pegados de extremo a extremo necesarios para formar un nudo. Específicamente, dado cualquier nudo , el número de palos de , denotado por , es el número más pequeño de aristas de una trayectoria poligonal equivalente a . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {stick} (K)}$ ${\displaystyle K}$

Valores conocidos

Seis es el número de palo más bajo para cualquier nudo no trivial. Hay pocos nudos cuyo número de palo se puede determinar con exactitud. Gyo Taek Jin determinó el número de palo de un nudo toroidal en caso de que los parámetros y no estén demasiado alejados entre sí: ^[1] ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle T(p,q)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \operatorname {stick} (T(p,q))=2q}$, si ${\displaystyle 2\leq p<q\leq 2p.}$

El mismo resultado fue obtenido de forma independiente casi al mismo tiempo por un grupo de investigación dirigido por Colin Adams , pero para un rango más pequeño de parámetros. ^[2]

Límites

Nudo cuadrado = trébol + reflejo del trébol.

El número de varillas de una suma de nudos puede estar acotado superiormente por los números de varillas de los sumandos: ^[3] $${\displaystyle {\text{stick}}(K_{1}\#K_{2})\leq {\text{stick}}(K_{1})+{\text{stick}}(K_{2})-3\,}$$

Invariantes relacionados

El número de palos de un nudo está relacionado con su número de cruces mediante las siguientes desigualdades: ^[4] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle c(K)}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}(7+{\sqrt {8\,{\text{c}}(K)+1}})\leq {\text{stick}}(K)\leq {\frac {3}{2}}(c(K)+1).}$$

Estas desigualdades son ambas estrictas para el nudo de trébol , que tiene un número de cruces de 3 y un número de palos de 6.

Referencias

Notas

1. Jin 1997
2. Adams y otros 1997
3. Adams y otros 1997, Jin 1997
4. Negami 1991, Calvo 2001, Huh & Oh 2011

Material introductorio

• Adams, CC (mayo de 2001), "Por qué hacer nudos: nudos, moléculas y números de palo", Plus Magazine. Una introducción accesible al tema, también para lectores con pocos conocimientos matemáticos.
• Adams, CC (2004), The Knot Book: Una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3678-1.

Artículos de investigación

• Adams, Colin C .; Brennan, Bevin M.; Greilsheimer, Deborah L.; Woo, Alexander K. (1997), "Números de nudos y composición de nudos y eslabones", Journal of Knot Theory and its Ramifications , 6 (2): 149–161, doi :10.1142/S0218216597000121, MR  1452436
• Calvo, Jorge Alberto (2001), "Espacios de nudos geométricos e isotopía poligonal", Journal of Knot Theory and its Ramifications , 10 (2): 245–267, arXiv : math/9904037 , doi :10.1142/S0218216501000834, MR  1822491
• Eddy, Thomas D.; Shonkwiler, Clayton (2019), Nuevos límites de número de barras a partir de un muestreo aleatorio de polígonos confinados , arXiv : 1909.00917
• Jin, Gyo Taek (1997), "Índices de polígonos e índices de superpuentes de nudos y enlaces de toros", Journal of Knot Theory and its Ramifications , 6 (2): 281–289, doi :10.1142/S0218216597000170, MR  1452441
• Negami, Seiya (1991), "Teoremas de Ramsey para nudos, enlaces y grafos espaciales", Transactions of the American Mathematical Society , 324 (2): 527–541, doi : 10.2307/2001731 , MR  1069741
• Huh, Youngsik; Oh, Seungsang (2011), "Un límite superior para el número de nudos", Journal of Knot Theory and its Ramifications , 20 (5): 741–747, arXiv : 1512.03592 , doi :10.1142/S0218216511008966, MR  2806342

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Número de palo", MathWorld
• "Números de palo para nudos de palo mínimos", Sitio de investigación y desarrollo de KnotPlot .